[Править]Свойства подпространств

• Пересечение любого семейства подпространств — снова подпространство;

• Сумма конечного семейства подпространств — снова подпространство. Сумма подпространств   определяется как множество, содержащее всевозможные суммы элементов  :

.

В функциональном анализе в бесконечномерных пространствах особо выделяют замкнутые подпространства.

Базис. Размерность

• Конечная сумма вида

называется линейной комбинацией элементов   с коэффициентами  .

Линейная комбинация называется нетривиальной, если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля.

• Элементы   называются линейно зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулевому элементу  . В противном случае эти элементы называются линейно независимыми.

• Бесконечное подмножество векторов из   называется линейно зависимым, если линейно зависимо его некоторое конечное подмножество, и линейно независимым, если любое его конечное подмножество линейно независимо.

• Число элементов (мощность) максимального линейно независимого подмножества пространства не зависит от выбора этого подмножества и называется рангом, или размерностью, пространства, а само это подмножество — базисом (базисом Га́меля или линейным базисом). Элементы базиса также называют базисными векторами. Свойства базиса:

  • Любые   линейно независимых элементов  -мерного пространства образуют базис этого пространства.

  • Любой вектор   можно представить (единственным образом) в виде конечной линейной комбинации базисных элементов:

.

[править]Линейная оболочка

Линейная оболочка   подмножества   линейного пространства   — пересечение всех подпространств  , содержащих  .

Линейная оболочка является подпространством  .

Линейная оболочка также называется подпространством, порожденным  . Говорят также, что линейная оболочка   натянута на множество  .

Линейная оболочка   состоит из всевозможных линейных комбинаций различных конечных подсистем элементов из  . В частности, если   — конечное множество, то   состоит из всех линейных комбинаций элементов  .

Если   — линейно независимое множество, то оно является базисом   и тем самым определяет его размерность.

5. .Билет

Говорят, что линейное пространство   есть прямая сумма своих подпространств  :

если каждый вектор   представляется в виде суммы

и притом единственным образом.

Комментарий

Последнее условие («единственным образом») весьма существенно, без него получается просто определение суммы подпространств (обозначается  ). Из определения линейного пространства следует, что условие единственности разложения (*)для каждого вектора   равносильно условию единственности разложения (*) только для нулевого вектора (для   в сумме (*) все слагаемые  ).

Критерии прямой суммы

• Каждый вектор   раскладывается в сумму (*), причём   (Если   конечномерно)

• Любая система из   ненулевых векторов, принадлежащих различным подпространствам, линейно независима.

• Пересечение каждого из подпространств   с суммой остальных есть нулевое пространство (пространство, состоящее только из нулевого вектора).

• Если линейное пространство   обладает базисом, то объединение базисов подпространств  ) есть базис в  .

• Каждый элемент   гильбертова пространства   может быть представлен в виде (*), причём если число подпространств   бесконечно, то   — сходящийся ряд.

• Пусть гильбертово пространство   разлагается в прямую сумму  , тогда сопряженное пространство   также распадается в прямую сумму  , причём   и  .