1.Билет

Изоморфизм конечномерных линейных пространств

Определение. Линейные пространства  и   называются изоморфными, если между их элементами можно установить такое взаимно однозначное соответствие, что если векторам  и  из   соответствуют векторы  и  из  , то вектору   соответствует вектор   и при любом   вектору   соответствует вектор  .

Теорема. Любые два n-мерных линейных пространства изоморфны.

Теорема на лекции доказана.

Это означает, что все  -мерные линейные пространства “устроены” одинаково — как пространство  векторов-столбцов из   действительных чисел, т.е. что все они изоморфны пространству  .

Изоморфизм  -мерных линейных пространств пространству  означает, что соотношения между элементами  -мерного линейного пространства и операции с ними можно изучать как соотношения между векторами из  и операции с ними и что всякое утверждение относительно векторов из   справедливо для соответствующих элементов любого  -мерного линейного пространства.

2.Билет

Ма́трицей перехо́да от базиса   к базису   является матрица, столбцы которой — координаты разложения векторов   в базисе  .

Обозначается 

Так как

.

.

.

.

Матрица перехода это

При умножении столбца, составленного из коэффициентов разложения вектора по базису  , на матрицу, обратную к матрице перехода, мы получаем тот же вектор, выраженный через базис  .

Из-за того, что уменьшает объём работы при переводе векторов аффинных пространств и в пространстве столбцов  в другие базисы, используется в трёхмерном моделировании.

[править]Пример

Для того, чтобы повернуть вектор на угол θ против часовой стрелки, можно умножить матрицу поворота на него:

Свойства

• Матрица перехода является невырожденной. То есть определитель этой матрицы не равен нулю.

• 

3.Билет

Линейное, или векторное пространство   над полем   — это непустое множество  , на котором введены операции

1. сложения, то есть каждой паре элементов множества   ставится в соответствие элемент того же множества, обозначаемый   и

2. умножения на скаляр (то есть элемент поля  ), то есть любому элементу   и любому элементу   ставится в соответствие единственный элемент из  , обозначаемый  .

При этом на операции накладываются следующие условия:

1. , для любых   (коммутативность сложения);

2. , для любых   (ассоциативность сложения);

3. существует такой элемент  , что   для любого   (существование нейтрального элемента относительно сложения), в частности   не пусто;

4. для любого   существует такой элемент  , что   (существование противоположного элемента относительно сложения).

5.  (ассоциативность умножения на скаляр);

6.  (унитарность: умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля P сохраняет вектор).

7.  (дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров);

8. (дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов).

Элементы множества   называют векторами, а элементы поля   — скалярами. Свойства 1-4 совпадают с аксиомами абелевой группы.

Простейшие свойства

1. Векторное пространство является абелевой группой по сложению.

2. Нейтральный элемент   является единственным, что вытекает из групповых свойств.

3.  для любого  .

4. Для любого   противоположный элемент   является единственным, что вытекает из групповых свойств.

5.  для любого  .

6.  для любых   и  .

7.  для любого  .

Подпространство

Алгебраическое определение: Линейное подпространство или векторное подпространство ― непустое подмножество   линейного пространства   такое, что   само является линейным пространством по отношению к определенным в   действиям сложения и умножения на скаляр. Множество всех подпространств обычно обозначают как  . Чтобы подмножество было подпространством, необходимо и достаточно, чтобы

1. ;

2. для всякого вектора  , вектор   также принадлежал  , при любом  ;

3. для всяких векторов  , вектор   также принадлежал  .

Последние два утверждения эквивалентны следующему:

для всяких векторов  , вектор   также принадлежал   для любых  .

В частности, пространство, состоящее из одного элемента  , является подпространством любого пространства; любое пространство является само себе подпространством. Подпространства, не совпадающие с этими двумя, называют собственными илинетривиальными.