Билет №23

Условия неограниченности целевой функции канонической задачи линейного программирования на минимум

Пусть симплекс таблица приведена к некоторому базису опорного решения α канонической задачи линейного программирования (1)-(3) на минимум. Если при этом существует столбец A_s с положительной оценкой, т.е. где s=1,2,…,n, а все остальные элементы этого столбца неположительные, т.е. , i=1,2,…,r, то целевая функция данной задачи неограниченна на множестве допустимых решений, и, следовательно, задача не имеет оптимального решения.

Доказательство.

Пусть симплекс таблица приведена к базису А₁,А₂,…,A_r опорного решения α=(α₁,α_2, …,α_r, 0,0, …, 0) и имеет вид :

A’1	A’2	…	A’r	A’r+1	…	A’s	…	A’n	B’
1	0	…	0	a1,r+1	…	a1s	…	a1n	α1
0	1	…	1	a2,r+1	…	a2s	…	a2n	α2
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
0	0	…	1	ar,r+1	…	ars	…	arn	Αr
0	0	…	0		…		…

Следовательно, вектор ограничений В’ , а так же вектор условий A’_s можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов, а именно :

(12) A’₁α₁ + A’₂α ₂ +…+A’_r α _r =B и

A’₁α’_1s + A’₂α’ _2s +…+A’_r α’ _rs = A’_s

(13) A’₁α’_1s + A’₂α’ _2s +…+A’_r α’ _rs –A’_s = .

Помножив соотношение (13) на переменную t и вычтя его из соотношения (12), получим:

A’₁ (α₁ – ta’_1s) + A’₂ (α ₂ – ta’_2s) +…+A’_r (α _r – ta’_rs) + A’_st = B’

Из последнего соотношения и с учетом того, что a’_is 0, следует что вектор A_t = (α₁ – ta’_1s , α ₂ – ta’_2s, …,α _r – ta’_rs, 0, …, 0, t, 0, …, 0) является допустимым решение задачи (1)-(3). По лемме о целевой функции для допустимого решения α_е имеем

f(α_t) = f(α) - (α₁ – ta’_1s) + ₂ (α ₂ – ta’_2s) -…- _r (α _r – ta’_rs) - _st.

С учетом того что оценки базисных векторов равны нулю, то есть ₂ =…= _r = 0, значение целевой функции можно записать в виде : f(α_t) = f(α) - . Так как то при t целевая функция неограниченно уменьшается, то есть f(α_t) , и, следовательно, задача не имеет оптимального решения.

Билет №24

Решение канонической задачи линейного программирования на минимум симплекс методом, критерии выбора вектора вводимого в базис и выводимого из базиса

Рассмотрим каноническую задачу линейного программирования.

(9) f(X)= +

(10) =B

(11) , j=1,2,…,n.

Пусть вектор α опорное решение данной задачи. Выберем некоторый базис этого опорного решения, например, В₁,…,B_l,…,B_k,…,B_r, т.е. опорное решение имеет вид α=(0,…,0,α₁,0,…,0,α_l,0,…,0,α_k,0,…,0,α_r,0,0,…,0).

Приведя систему векторов условий к базису выбранного опорного решения, получим симплекс таблицу (4)

…	B1	…	Bl	…	Bk	…	Br	…	As	…	B
…	1	…	0	…	0	…	0	…	a’1s	…
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
…	0	…	1	…	0	…	0	…	a’ls	…
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
…	0	…	0	…	1	…	0	…	a’ks	…
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
…	0	…	0	…	0	…	1	…	a’rs	…
…	0	…	0	…	0	…	0	…		…

1. Если любой вектор системы условий задачи в полученной симплекс таблице имеет неположительную оценку т.е. для всех j=1,2,…,n то опорное решение α является оптимальным решением данной задачи ( теорема о достаточном условии оптимальности опорного решения).

2. Если в симплекс таблице существует s-й столбец с положительной оценкой , где s=1,2,…,n а все остальные элементы s-го столбца неположительные то целевая функция данной задачи неограниченна на множестве допустимых решений и следовательно задача не имеет оптимального решения (теорема о неограниченности целевой функции)

3. Если оценка s-го столбца положительная, но при этом среди элементов этого столбца найдется положительный т.е. a_is 0, i=1,2,…,r. То рассматриваются соотношения вида для всех a’_is 0 , среди которых выбирается наименьшее. Пусть это будет отношение = . Затем проводится преобразование Жордана симплекс таблицы (4) с разрешающим элементом . После такого преобразования будет получена новая симплекс таблица приведенная к базису отличному от предыдущего так как вектор B_k уступил место вектору A_s. Эта симплекс таблица обладает свойствами : 1)она приведена к базису B₁,…,B_l,…,B_k-1,B_k+1,…,B_r,…,A_s. 2)Все элементы столбца ограничений неотрицательные.