Билет №5

Решение системы однородных уравнений

Линейное уравнение называется однородным, если его свободный член равен нулю, и неоднородным в противном случае. Система, состоящая из однородных уравнений, называется однородной и имеет общий вид:

Теорема. Однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее ранг меньше числа неизвестных.

Доказательство: Допустим, система, ранг которой равен , имеет ненулевое решение. Очевидно, что не превосходит . В случае система имеет единственное решение. Поскольку система однородных линейных уравнений всегда имеет нулевое решение, то именно нулевое решение и будет этим единственным решением. Таким образом, ненулевые решения возможны только при .

Следствие 1: Однородная система уравнений, в которой число уравнений меньше числа неизвестных, всегда имеет ненулевое решение.

Доказательство: Если у системы уравнений , то ранг системы не превышает числа уравнений , т.е. . Таким образом, выполняется условие и, значит, система имеет ненулевое решение.

Следствие 2: Однородная система уравнений с неизвестными имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю.

Доказательство: Допустим, система линейных однородных уравнений, матрица которой с определителем , имеет ненулевое решение. Тогда по доказанной теореме , а это значит, что матрица вырожденная, т.е. .

Билет №6

Примеры линейно зависимых и линейно независимых систем векторов

1. Система m-мерных векторов называется линейно зависимой, если система линейных уравнений (1) имеет ненулевые решения. Если же система (1) не имеет ненулевых решений, то данная система векторов является линейно независимой.

2. Система m-мерных векторов называется линейно зависимой, если существует такой ненулевой вектор , что выполняется линейное соотношение (2) . Если же из всякого соотношения вида (2) следует, что , то система векторов называется линейно независимой.

Пример:

Билет №7

Свойства системы векторов и части этой системы

1. Из определения линейной зависимости векторов следует, что любая система векторов либо линейно зависима, либо линейно независима.

2. Если часть данной системы векторов линейно зависима, то и вся данная система линейно зависима.

∆ Пусть A₁, …, A_l линейно зависимая часть системы векторов A₁, …, A_n , где l<n. По определению найдется такой вектор К=(k₁, …, k_l) ≠ Ɵ, что будет выполняться соотношение A₁k₁ + … + A_lk_l = Ɵ. Тогда соотношение вида A₁k₁ + … + A_lk_l + … + + A_nk_n = Ɵ будет выполняться при

К=(k₁, …, k_l, 0, …, 0) ≠ Ɵ. Следовательно, по определению вся система векторов A₁, …, A_n является линейно зависимой. ∎

3. Если данная система векторов линейно независима, то и любая ее часть линейно независима.

∆ От противного. Пусть часть A₁, …, A_k данной системы векторов A₁, …, A_n является линейно зависимой. Тогда из 2 свойства следует, что вся данная система векторов линейно зависимая. Это противоречит условию, следовательно, предположение неверно, а верно то, что любая часть линейно независимой системы является тоже линейно независимой. ∎

4. Если система векторов A₁, …, A_n, B является линейно зависимой, а ее часть A₁, …, A_n – линейно независима, то вектор линейно выражается через векторы A₁, …, A_n.

∆ Система векторов A₁, …, A_n, B является линейно зависимой. Тогда по определению найдется такой вектор К=(k₁, …, k_n, k_n+1) ≠ Ɵ , что выполняется соотношение A₁k₁ + … + A_nk_n + Bk_n+1 = Ɵ. Покажем, что k_n+1 ≠ 0. Если бы k_n+1 = 0, то Bk_n+1 = Ɵ. Тогда A₁k₁ + … + A_nk_n = Ɵ, а т. к. система векторов A₁, …, A_n по условию линейно независима, то k₁ = … = k_n = 0, а следовательно, вектор , что противоречит тому, что К=(k₁, …, k_n, k_n+1) ≠ Ɵ. Т. о. k_n+1 ≠ Ɵ. Тогда можно записать B =A₁ (-k₁/k_n+1) + … + A_n (-k_n/k_n+1) ∎