5. Интегрирование простейших иррациональностей.

1)Интеграл вида приводится к табличным интегралам вида (если a или (если a

2)В интеграле вида (m из числителя выделяется производная 2ax+b. В результате приходим к табличным интегралам и интегралам первого вида.

3)Интегралы вида (m с помощью подстановки приводится к видам рассмотреным ранее.

4)Интегралы вида путем выдиления полного квадрата приводится к одному из трех видов:

1)

2)

3)

Интегралы этих трех видов тригинометрическими подстановками сводятся к интегралам функций рационально зависящих от и . Для этого достаточно в интегралах вида (1) применить подстановку или , в интегралах вида (2) – подстановку или , в интегралах вида (3) – подстановку или

6. Понятие определенного интеграла.

П усть функция f(x) определена на отрезке . Разобьем произвольно этот отрезок на n частей точками где .

Обозначим , и пусть - длинна наибольшего из отрезков разбиения (ее называют диаметром разбиения). На каждом отрезке произвольно выберем точку и составим сумму , которую называют интегральной суммой Римана функции f(x), соответствующей данному разбиению отрезка и выбору точек .

Рассмотрим предел интегральных сумм при стремлении диаметра разбиения к нулю, т.е. .

Если существует конечный предел последовательности интегральных сумм при условии, что наибольшая из разностей , стремится к нулю, причем этот предел не зависит от способа разбиения отрезка и от выбора точек , то функцию f(x) называют интегрируемой по Риману на отрезке , а сам предел называют определенным интегралом от функции f(x) в пределах от a до b и обозначают символом .

По определению определенный интеграл от f(x) на , есть некоторое число I (его так же называют интегралом Римана от f(x) на )

7. Геометрический смысл определенного интеграла.

П усть f(x) непрерывная на функция, причем для . Криволинейной трапецией называют фигуру ограниченную графиком функции f(x), прямыми , и осью .

Произведение f(x) равно площади прямоугольника с основанием и высотой f , а сумма представляет собой площадь ступенчатой фигуры, изображенной на рисунке.

Если при стремлении к нулю диаметра разбиения отрезка существует предел, то естественно величину I называют площадью криволинейной трапеции. Таким образом с геометрической точки зрения определенный интеграл от неотрицательной функции есть площади соответствующей криволинейной трапеции: .

8. Основные свойства определенного интеграла.

1)Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е.

2)Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла, т.е. , где k-const.

3)Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен сумме их интегралов, т.е.

4)Имеет место равенство: .

5)Для любых чисел a, b и с справедливо равенство: , если все три интеграла существуют.

6)При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак, т.е. .

7)Если на отрезке функция f(x) и удовлетворяют условию f(x) , то .

8)Если подынтегральная функция на отрезке интегрирования не меняет знак, то интеграл представляет собой число того же знака, что и функция, т.е. при f(x) (f(x) ) для .

9)(Теорема об оценке) Если M и m – наибольшее и наименьшее значения f(x) на отрезке , то .

10)(Теорема о среднем) Если f(x) непрерывна на , то существует такая , что .

11)Интегрирование в симметричных пределах можно упростить по формулам: