
- •1. Понятие о первообразной и неопределенном интеграле.
- •2. Основные свойства неопределенного интеграла.
- •3. Основные методы интегрирования. Метод замены переменной интегрирования.
- •4. Основные методы интегрирования. Интегрирование по частям.
- •5. Интегрирование простейших иррациональностей.
- •6. Понятие определенного интеграла.
- •7. Геометрический смысл определенного интеграла.
- •8. Основные свойства определенного интеграла.
- •9. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.
- •11. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
- •22. Решение линейного неоднородного дифференциального уравнения методом вариации произвольных постоянных.
- •28. Понятие знакочередующегося ряда. Теорема Лейбница.
- •31. Классическое определение вероятности.
- •32. Свойства вероятности.
- •33. Понятие относительной частоты. Статистическая вероятность.
- •34. Геометрические вероятности.
- •35. Основные формулы комбинаторики.
- •36. Теоремы сложения вероятностей.
- •37. Теоремы умножения вероятностей.
- •38. Формула полной вероятности.
- •39. Вероятность гипотез. Формулы Бейеса.
- •40. Повторение испытаний. Формула Бернулли.
- •41. Повторение испытаний. Локальная теорема Лапласа.
- •42. Повторение испытаний. Интегральная теорема Лапласа.
- •45. График функции распределения.
- •46. Плотность распределения вероятностей нсв. Свойства плотности распределения.
- •47. Нахождение функции распределения по известной плотности распределения.
- •48. Математическое ожидание дсв.
- •49. Свойства математического ожидания. Математическое ожидание числа появлений события в независимых испытаниях.
- •50. Дисперсия дискретной случайной величины.
- •51. Свойства дисперсии. Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях.
- •52. Числовые характеристики непрерывных случайных величин.
- •53. Понятие о теоретических моментах распределения.
- •Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой.
- •81. Статистическая проверка параметрических гипотез. Ошибки первого и второго рода. П.2. Ошибки первого и второго рода.
- •Проверка гипотез равенства математических ожиданий двух случайных величин (большие независимые выборки).
- •89. Геометрическая интерпретация и графическое решение злп.
- •90. Понятие симплексного метода.
- •91. Понятие двойственности. Построение пары взаимно двойственных
- •92. Первая теорема двойственности и ее экономическое содержание.
- •93. Вторая теорема двойственности и ее экономическое содержание.
- •1. Понятие о первообразной и неопределенном интеграле.
- •2. Основные свойства неопределенного интеграла.
- •3. Основные методы интегрирования. Метод замены переменной интегрирования.
38. Формула полной вероятности.
Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий В1, В2,…,Вn, которые образую полную группу.
Пусть известны вероятности этих событий и условные вероятности события А:
РВ1(А)*РВ2(А)*…*РВn(А)
Теорема 20.7. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий В1, В2,…,Вn, образующих полную группу, равна сумме произведения вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность собтия А:
P(A) = PВ1(A)*P(В1) + PВ2(A)*P(2) + ...+ PВn(A)*P(Вn) (20.13)
Формулу (20.13) называют «формулой полной вероятности».
Пример 20.10. В первой коробке содержится 20 радиоламп. Из них 18 стандартные, во второй коробке – 10 ламп, из них 9 стандартные. Из второй коробки наудачу взята лампа и переложена в первую. Найти вероятность того, что лампа, наудачу извлечённая из первой коробки, будет стандартной.
Решение. Обозначим через А событие «из первой коробки извлечена стандартная лампа»
Из второй коробки могла быть извлечена либо стандартная лампа (событие В1), либо нестандартная (событие В2).
Вероятность того, что из второй коробки извлечена стандартная лампа, Р(В1) = 5/10
Вероятность того, что из второй коробки извлечена нестандартная лампа, Р(В2)=1/10
Условная вероятность того, что из первой коробки извлечена стандартная лампа, при условии, что из второй коробки в первую была переложена стандартная лампа, равна РВ1(А)=19/21
Условная вероятность того, что из первой коробк извлечена стандартная лампа, при условии, что из второй коробки в первую была переложена нестандартная лампа, равна РВ2(А)=18/21
Искомая вероятность того, что из первой коробкт будет извлечена стандартная лампа, по формуле полной вероятности равна
Р(А)= Р(В1)*РВ1(А)+Р(В2)*РВ2(А)=9/10*19/21+1/10*18/21=0.9
39. Вероятность гипотез. Формулы Бейеса.
Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий В1, В2, …, Вn, образующих полную группу.
Поскольку заранее неизвестно, какие из этих событий наступят, их называют гипотезами.
Вероятность появления события А определяется по формуле полной вероятности (20.13)
Допустим, что произведено событие, в результате которого появилось событие А.
Поставим своей задачей определить, как изменились (в связи с тем, что событие а уже наступило) вероятности гипотез. Т.е. будем искать условные вероятности:
РА(В1), РА(В2), …, РА(Вn)
Найдём сначала условную вероятность РА(В1).
По теореме умножения
Р(АВ1) = Р(А)*РА(В1) = Р(В1)*РВ1(А)
Тогда РА(В1)= Р(В1)*РВ1(А)
Заменив далее Р(А) по формуле полной вероятности (20.13) , получим
Аналогично выводится формулы, определяющие условную вероятность остальных гипотез.
Следовательно условная вероятность любой гипотезы может быть вычислена по формуле
(20.14)
Полученную формулу называют формулой Бейеса.
Формула Бейеса позволяет переоценить вероятность гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.
Пример 20.11. Детали, изготовленные цехом завода, попадают для проверки их на стандартность к одному из двух контролеров. Вероятность того, что деталь попадет к первому контролеру равна 0,6, ко второму – 0,4.
Вероятность того, что деталь будет признана стандартной первым контролером, равна 0,94, вторым – 0,98. Деталь при проверки была признана стандартной .
Найти вероятность того, что эту деталь проверил первый контролер.
Решение. Обозначим через А событие, состоящее в том, что можно сделать два предположения.
1) Деталь проверил первый контролер (гипотеза В1)
2)т деталь проверил второй контролер (гипотеза В2)
Искомую вероятность того, что деталь проверил первый контролер, найдем по формуле Бейеса.
По условию задачи имеем:
Р(В1)= 0,6 (вероятность того, что деталь попадёт к первому контролеру)
Р(В2) = 0,4 (вероятность того, что деталь попадет ко второму контролеру)
РВ1(А) = 0,94 (вероятность того, сто деталь будет признана первым контролером стандартной)
РВ2(А) = 0,98 (вероятность того, что деталь будет признана вторым контролером стандартной)
Искомая вероятность
РА(В1)=
=0,59
Таким образом, до испытания вероятность гипотезы В1 равнялась 0,6, а после того, как стал известен результат испытания, вероятность этой гипотезы ( точнее, условная вероятность) изменилась и стала равной 059.
Следовательно, использование формулы Бейеса позволяет переоценить вероятность рассматриваемой гипотезы.