Уфимский государственный авиационный технический университет

Кафедра АПРиС

Курсовая работа

по дискретной математике

«Выделение минимального остовного дерева»

Выполнила:

Габбасова Альфия

ИВТ-125

Проверил:

Ошмарин А.А.

Оглавление:

Цель работы 3

Введение 3

Теоретическая часть 3

Алгоритм выделения остовного дерева 6

Блок-схемы 8

Листинг программы 12

Тестирование программы. 14

2) Входящие данные: 15

15

Заключение 16

Список использованной литературы: 17

Цель работы

Целью данной работы является изучение и создание алгоритма решения задачи о составлении минимального остовного дерева, а так же разработка программы, реализующей этот алгоритм.

Введение

Теория графов это один из разделов дискретной математики, изучающий свойства графов. Теория графов имеет огромное практическое значение, к примеру маршрутизация данных.

Теоретическая часть

Рассмотрим чертеж вида

города

вершины

дороги

ребра

Обозначения и определения

V – множество точек – вершины;

X – множество линий – ребра;

Графом называется совокупность множеств вершин и ребер.

v - номер вершины;

{v,w} – обозначение ребра;

{v,v} – петли;

Одинаковые пары - параллельные или кратные ребра;

Кратностью ребер называют количество одинаковых пар.

Пример: кратность = 3.

Если в графе есть петли и/или кратные ребра, то такой граф называют псевдографом.

Псевдограф без петель называется мультиграфом.

Мультиграф в котором ни одна пара не встречается более одного раза называется графом.

Если пары (v,w) являются упорядоченными, граф называется ориентированным (орграфом).

Ребра ориентированного графа называются дугами.

В неориентированном графе ребра обозначаются неупорядоченной парой - {v,w}.

В ориентированном графе дуги обозначаются упорядоченной парой - (v,w).

G, G₀ - неориентированный граф, D, D₀ – ориентированный.

Обозначают v,w - вершины, x,y,z – дуги и ребра.

Пример

1) V={v₁, v₂, v₃, v₄},

X={x₁=(v₁,v₂), x₂=(v₁,v₂), x₃=(v₂,v₂), x₄=(v₂,v₃)}.

изолированная

вершина

висячая

вершина

2) V={v₁, v₂, v₃, v₄, v₅},

X={x₁={v₁,v₂}, x₂={v₂,v₃}, x₃={v₂,v₄}, x₄={v₃,v₄}}.

Подграфом графа G называется граф, все вершины и ребра которого содержатся среди вершин и ребер графа G. (Для орграфа то же).

Подграф наз. собственным, если он отличен от самого графа.

Говорят, что вершина w орграфа D (графа G) достижима из верш. v, если либо w=v, либо существует путь (маршрут) из v в w.

Граф (орграф) наз связным (сильно связным), если для любых двух его вершин v, w существует маршрут (путь), соединяющий v и w.

Орграф наз односторонне связным, если для любых двух его вершин по крайней мере одна достижима из другой.

Псевдографом, ассоциированным с ориентированным псевдографом D=(V,X) наз. псевдограф G=(V,X₀), в котором X₀ получается из X заменой всех упорядоченных пар (v,w) на неупорядоченные {v,w}.

Орграф наз слабо связным, если связным является ассоциированный с ним псевдограф.

Если граф (орграф) не является связным (слабо связным), то он наз. несвязным.

Компонентой связности графа G (сильной связности орграфа D) наз. его связный (сильно связный) подграф, не являющийся собственным подграфом никакого другого связного (сильно связного) подграфа графа G (орграфа D).

Примеры.

опр || назовем орграф D=(V,X) нагруженным, если на множестве дуг X определена некоторая функция , которую называют весовой функцией

2

6

7

4

8

Числа – вес дуги, (цена дуги).

Для любого пути П нагруженного орграфа D обозначим через l(П) сумму длин дуг, входящих в путь П. (Каждая дуга считается столько раз, сколько она входит в путь П).

Величина l называется длиной пути. Если выбрать веса равными 1, то придем к ненагруженному графу.