1 Задача на формулу включения-исключения.

2 Найти все разбиения данного множества. Проверить, что их количество

равно соответствующему числу Белла.

Перебираем все числа m от 1 до n-1, где n -- количество точек

Для каждого m перебираем все комбинации из m точек таким образом:

Перебираем все точки, и для каждой из них комбинации из m-1 точки (рекурсия).

Итого, получили разбиение на m и n-m точек

Числа Белла пересчитывают разбиения n-элементного множества на классы. Други- ми словами, количество различных рифмовок для строфы из n строк есть n-е число Белла Например, четверостишие имеет 15 возможных рифмовок (одна из которых — отсутствие ка- кой бы то ни было рифмы). А для 14-строчного стихотворения способов 190 899 322 (именно таково 14-е число Белла).

3 Дать определение чисел Стирлинга и чисел Белла и объяснить как они

вычисляются.

Числами Стирлинга первого рода (со знаком) s(n, k) называются коэффициенты многочлена:

где — символ Похгаммера (убывающий факториал):

Как видно из определения, числа имеют чередующийся знак. Их абсолютные значения задают количество перестановок множества, состоящего из n элементов с k циклами.

В комбинаторике числом Стирлинга второго рода из n по k, обозначаемым или , называется количество неупорядоченных разбиений n-элементного множества на k непустых подмножеств. Числа Стирлинга второго рода удовлетворяют рекуррентному соотношению:

, для n ≥ 0,

, для n > 0,

для

В комбинаторике числом Белла называется число всех неупорядоченных разбиений n-элементного множества, при этом по определению полагают .

Значения чисел Белла для образуют последовательность:

1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147, 115975, … (последовательность A000110 в OEIS)

Число Белла можно вычислить как сумму чисел Стирлинга второго рода:

Для чисел Белла справедлива также формула Добинского:

.

Числа Белла можно задать в рекуррентном виде:

.

Экспоненциальная производящая функция чисел Белла имеет вид

4 Вывести формулу для производной 4-го порядка от сложной функции и

объяснить как коэффициенты этой формулы связаны с числами Стирлинга и

числом Белла.

производная четвертого порядка - и вообще производная n-го порядка - .

5 Найти декартово произведение заданных множеств. Проверить его мощность.

3 Декартово произведение множеств

Пусть А и В – множества. Выражение вида (а, b), где a A и b B, называется упорядоченной парой. Равенство вида (a, b) = (c, d) означает, что a = c и b = d. В общем случае, можно рассматривать упорядоченную n-ку (a1, a2, ..., an) из элементов a1 A1, a2 A2, ..., an An. Упорядоченные n-ки иначе называют наборами или кортежами.

Определение 6. Декартовым (прямым) произведением множеств A1, A2, ..., An называется множество упорядоченных n-ок (наборов, кортежей) вида

A1 A2 ... An = {(a1, a2, ..., an) | ai Ai,

}.

Определение 7. Степенью декартового произведения A1 A2 ... An называется число множеств n, входящих в это декартово произведение.

Если все множества A1, A2, ..., An одинаковы, то используют обозначение An=A A ... A.

Примеры декартовых произведений.

а) Если А = {a, b, c, d, e, f, g, h}, а В = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, то A В = {a1, a2, a3, ..., h7, h8} – множество, содержащее обозначения всех 64 клеток шахматной доски.

б) Пусть А – конечное множество, элементами которого являются символы (буквы, цифры, знаки препинания и т.д.). Такие множества называются алфавитами, а элементы множества An называются словами длины n в алфавите А.

5Например, множество A2 = A A содержит все возможные двухэлементные сочетания символов (слова из 2-х символов). Множество всех слов в алфавите А – это множество

.

Теорема. Мощность декартового произведения A1 A2 ... An равна произведению мощностей множеств A1, A2, ..., An:

Следствие: |An| = |A|n.

4 Отношения

|A1 A2 ... An| = |A1| |A2| ... |An|.

Пусть дано декартово произведение множеств A1 A2 ... An.

Определение 8. Подмножество R декартового произведения множеств A1 A2 ... An называется отношением степени n (n-арным отношением) на множествах A1, A2, ..., An.

Говорят, что элементы a1, a2, ..., an находятся в отношении R, если (a1, a2, ..., an)

R. Наиболее изучены и часто используются в математике бинарные отношения. Для них,

наряду с записью (a1, a2) R, пишут также a1R a2. Например, отношение выполняется для пар (7, 9) и (7, 7), но не выполняется для пары

(9, 7). Отношение "иметь общий делитель, отличный от единицы" выполняется для пар (6, 9), (2, 4), (4, 4), но не выполняется для пар (7, 9) и (7, 7).

Задание: для каких пар выполняются отношения "родиться в одном городе", "быть моложе", заданные на множестве S2, где S – множество студентов Вашей группы?

Определение 9. Степень отношения – это количество элементов в каждом кортеже отношения.

Определение 10. Мощность отношения – это количество кортежей отношения.