1)Решение системы лау методом Жордана-Гаусса

О1. Система векторов v1,v2..vk линейного пространства V наз. линейно зависимой, если сущ. такие числа α1,α2..αK не все равные 0, что α1v1+α2v2+..α k v=0. Если равенство вып. только при нулевых значениях α1,α2..αK ,то векторы наз. линейно независимые. Максимальные линейно независимые системы наз. базисом.

Пример1. v1=(1,0,0,..0)

v2=(0,1,0,..0)

v3=(0,0,1,..0) - стандартный базис в n-мерном пространстве Vn

…

vn =(0,0,0,..1)

Алгоритм метода Жордана Гаусса

Рассм. систему линейных уравнений a11x1+a12x2+..+a1n xn = b1

a21x1 +a22x2+.. a2n xn = b2

…

am1 x1 + am2 x2 +..+ amn xn = bm

1)Выписываем расширенную матрицу к системы и в первой строке матрицы находим ненулевой элемент a1k ≠0. Делим первую строку на элемент a1k ,и проводя элементарные преобразования строк, обнуляем все остальные элементы k-столбца.

2) во второй строке полученной матрицы находим ненулевой элемент a2l. Делим вторую строку матрицы на эл-т a2L и с помощью элементарных преобразований строк обнуляем все остальные элементы L–столбца матрицы.

и т.д.

В результате преобразований матрица сведется к виду А ~

Тогда если хотя бы одно из чисел b k+1 ,..bm ≠0,то система не имеет решения. Впротивном случае сист. имеет решение. При этом неизвестные хk+1,..хm объявляем свободными, и неизвестные х1,..хk выражаем через свободные. Если все свободные неизвестные взять равными 0, то получим частные(базисные) решения. X = (b1,b2,..bk,0,0)

Пример 2. Найти несколько базисных решений уравнения

Решение:

базис	х1	х2	х3	х4	b
х4	1 3 1	1 -1 -3	5 -3 -13	1 1 -1	24 0 -48
х4	1 2 2	1 -2 -2	5 -8 -8	1 0 0	24 -24 -24
х4	1 2 0	1 -1 0	5 -8 0	1 0 0	24 -24 0
х4 х1	0 1	2 -1	9 -4	1 0	36 -12
х4 х2	2 -1	0 1	1 4	1 0	12 12
х3 х2	2 -9	0 1	1 0	1 -4	12 -36

3я строка убирается

Х1*=(-12,0,0,36)

Х2* =(0,12,0,12) Х3*=(0,-36,12,0)