37. Формулы Эйлера. Показательная форма к.Ч.

Формула Эйлера названа в честь Леонарда Эйлера, который её ввёл, и связываеткомплексную экспоненту с тригонометрическими функциями.

Формула Эйлера утверждает, что для любого вещественного числа   выполнено следующее равенство:

,

где   — основание натурального логарифма,

 — мнимая единица.

Показательная форма комплексного числа

Показательная и тригонометрические формы комплексных чисел связаны между собой формулой Эйлера.

Пусть комплексное число   в тригонометрической форме имеет вид   . На основании формулы Эйлера выражение в скобках можно заменить на показательное выражение. В результате получим:

Эта запись называется показательной формой комплексного числа. Так же, как и в тригонометрической форме, здесь  , .

38. Возведение в степень к.Ч.

При возведении комплексного числа в любую целую степень модуль комплексного числа возводится в ту же степень, а аргумент умножается на показатель степени.

(a+ i b)2=

=(r(cos(φ)+ i·sin(φ)))2=

1.	= r2(cos(2φ)+ i·sin(2φ))

а также

(a+ i b)3=

=(r(cos(φ)+ i·sin(φ)))3=

2.	= r3(cos(3φ)+ i·sin(3φ))

и вообще

(a+ i b)n=

=(r(cos(φ)+ i·sin(φ)))n=

3.	= rn(cos(nφ)+ i·sin(nφ))

Данная формула называется формулой Муавра. Она верна и для целого отрицательного значения n, а также для n = 0.

39. Решение алгебраического уравнения n-ной степени. Извлечение корней к.Ч.

Теорема Гаусса. Любое алгебраическое уравнение  (*) имеет на множестве комплексных чисел хотя бы одно решение.

Эту теорему также называют основной теоремой алгебры. Согласно этой теореме, уравнение (*) имеет хотя бы один корень z = z₀. Разделив многочлен, стоящий в левой части (*) на одночлен (z = z₀), мы получим снова уравнение вида (*), которое согласно той же теореме Гаусса имеет хотя бы одно решение. Продолжая так n раз, получим следствие теоремы Гаусса: любое алгебраическое уравнение n-ной степени имеет ровно n, вообще говоря, комплексных, корней (разумеется, некоторые корни могут совпадать).

Заголовок этого раздела является не совсем точным. Дело в том, что корень из ненулевого комплексного числа однозначно определить нельзя. Он всегда имеет столько значений, какова его степень. Поэтому в данном разделе мы будем говорить о решении уравнения

(17.14)

где неизвестным служит   , а    -- известное комплексное число. Но поскольку в школе решение этого уравнения записывалось в виде   , то, не слишком соблюдая математическую строгость, можно говорить, что мы будем извлекать корень   -ой степени из комплексного числа   . Итак, решаем уравнение (17.14).

Если   , то   . Пусть   . Запишем число   в тригонометрической форме:   . Здесь   и    -- известные величины. Запишем неизвестное число   в тригонометрической форме:   . Здесь   и    -- неизвестны. По формуле Муавра

Таким образом,

Если два комплексных числа равны, то их модули должны быть равны. Поэтому   . В этом соотношении   и    -- положительные числа, следовательно   , где справа стоит обычный арифметический корень из положительного числа.

Если два комплексных числа равны, то аргументы у них могут различаться только на величину, кратную   . Поэтому   ,   . Отсюда находим, что

В итоге получили:

(17.15)

Значения   , отличные от указанных в этой формуле, дадут те же значения   , которые можно получить при