- •21. Матрицы. Слу в матричной форме.
- •22. Матрица как линейный оператор
- •23. Умножение матриц.
- •24. Определители. Определители 2 и 3 –го порядков.
- •25. Свойства определителей.
- •26. Миноры. Алг. Дополнения
- •27. Разложение определителей по элементам строки.
- •28. Единичная матрица. Обратная матрица.
- •29. Теорема и формулы Крамера.
- •30. Решение линейных систем с помощью обратной матрицы
- •31. Метод Гаусса для решения линейных систем.
- •32. Решение слу методом Жордана-Гаусса
- •33. Ранг. Теорема Кронекера-Капелли
- •34. Собственные вектора и собственные значения.
- •35. Комплексные числа. Алгебра к.Ч.
- •36. Тригонометрическая форма к.Ч.
- •37. Формулы Эйлера. Показательная форма к.Ч.
- •38. Возведение в степень к.Ч.
- •39. Решение алгебраического уравнения n-ной степени. Извлечение корней к.Ч.
- •40. Логарифм к.Ч. (последняя формула)
21. Матрицы. Слу в матричной форме.
Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых или комплексных чисел), которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов матрицы задают размер матрицы. Хотя исторически рассматривались, например, треугольные матрицы[1], в настоящее время говорят исключительно о матрицах прямоугольной формы, так как они являются наиболее удобными и общими.
Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. В этом случае, количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов — количеству неизвестных. В результате решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами.
Матрицы допускают следующие алгебраические операции:
сложение матриц, имеющих один и тот же размер;
умножение матриц подходящего размера (матрицу, имеющую столбцов, можно умножить справа на матрицу, имеющую строк);
умножение матрицы на элемент основного кольца или поля (т. е. скаляр).
Матричная форма
Система линейных уравнений может быть представлена в матричной форме как:
или:
Здесь — это матрица системы, — столбец неизвестных, а — столбец свободных членов. Если к матрице приписать справа столбец свободных членов, то получившаяся матрица называется расширенной.
22. Матрица как линейный оператор
Пусть линейный оператор действует в сепарабельном гильбертовом пространстве. Каждый элемент пространства может быть представлен в координатах в некотором ортонормированном базисе { } как , причем из ортнонормированности базиса следует, что . Тогда вектор можно разложить в том же базисе с коэффициентами , где . Таким образом, в координатном представлении , где - координатное представление вектора , а -координатное представление вектора , соответственно { }-матрица оператора в данном базисе.
Таким образом, каждому линейному оператору гильбертова пространства соответствует некоторая матрица в данном базисе.
23. Умножение матриц.
Пусть даны две прямоугольные матрицы и размерности и соответственно:
Тогда матрица размерностью называется их произведением:
где:
Операция умножения двух матриц выполнима только в том случае, если число столбцов в первом сомножителе равно числу строк во втором; в этом случае говорят, что форма матриц согласована. В частности, умножение всегда выполнимо, если оба сомножителя — квадратные матрицы одного и того же порядка.
Следует заметить, что из существования произведения вовсе не следует существование произведения
24. Определители. Определители 2 и 3 –го порядков.
Определителем матрицы называется некоторая математическая функция элементов квадратной матрицы, результатом которой является число. Обозначение: – определитель 3- го порядка (т.к. матрица размера 3 на 3) матрицы А. Замечание: В этом, якобы простом, определении определителя ( звучит как тавтология) говориться, что с элементами матрицы нужно что то сделать ( умножить, сложить, разделить и т.д.) и получится значение определителя этой матрицы. Однако не сказано. Что же все-таки надо с ними сделать.
Вычисление определителей первого порядка. Матрица размера это просто число. Определителем такой матрицы является само это число. Пример:
Вычисление определителей второго порядка. Определитель второго порядка (матрицы размера 2 на 2) вычисляется по правилу: Запомнить просто: произведение элементов, стоящих на главной диагонали, минус произведение элементов, стоящих на побочной. Пример: .
Вычисление определителей третьего порядка. Определитель третьего порядка вычисляется по правилу: Запомнить порядок сомножителей, конечно же, очень трудно, если не знать визуального представления этого правила, которое называется правило треугольников: Здесь схематично показано, какие сомножители соседствуют в слагаемых.