32. Решение слу методом Жордана-Гаусса

Метод Гаусса — Жордана (метод полного исключения неизвестных) — метод, который используется для решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений, нахождения обратной матрицы, нахождения координат вектора в заданном базисе или отыскания ранга матрицы. Метод является модификацией метода Гаусса.

Алгоритм

1. Выбирают первый слева столбец матрицы, в котором есть хоть одно отличное от нуля значение.

2. Если самое верхнее число в этом столбце есть ноль, то меняют всю первую строку матрицы с другой строкой матрицы, где в этой колонке нет нуля.

3. Все элементы первой строки делят на верхний элемент выбранного столбца.

4. Из оставшихся строк вычитают первую строку, умноженную на первый элемент соответствующей строки, с целью получить первым элементом каждой строки (кроме первой) ноль.

5. Далее проводят такую же процедуру с матрицей, получающейся из исходной матрицы после вычёркивания первой строки и первого столбца.

6. После повторения этой процедуры   раз получают верхнюю треугольную матрицу

7. Вычитаем из предпоследней строки последнюю строку, умноженную на соответствующий коэффициент, с тем, чтобы в предпоследней строке осталась только 1 на главной диагонали.

8. Повторяют предыдущий шаг для последующих строк. В итоге получают единичную матрицу и решение на месте свободного вектора (с ним необходимо проводить все те же преобразования).

9. Чтобы получить обратную матрицу, нужно применить все операции в том же порядке к единичной матрице.

33. Ранг. Теорема Кронекера-Капелли

Рангом матрицы называется наибольший из порядков отличных от нуля ее миноров.

Пример. В рассмотренной выше матрице   все миноры 3-го порядка равны нулю (это нетрудно проверить, миноров 3-го порядка всего десять), а среди миноров 2-го порядка есть отличные от нуля, например, вычисленный выше. Значит, ранг матрицы   равен двум. Это обозначается:  .

Определение 3. Две матрицы   и   называются эквивалентными (пишут:  ), если их ранги равны:  .

Можно показать, что следующие преобразования не меняют ранга матрицы:

1) перестановка строк матрицы;

2) умножение какой-либо строки на действительное число, отличное от нуля;

3) прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки;

4) вычеркивание строки, все элементы которой равны нулю.

Указанные преобразования можно использовать для определения ранга матрицы.

Пример. Для определения ранга матрицы   необходимо выполнить цепочку следующих преобразований:

~  (переставили местами первую и вторую строки) ~  (первую строку умножили на   и сло­жили со второй; первую строку умножили на   и сложили с третьей) ~  (элементы третьей строки умножили на

 

) ~  (к элементам третьей строки прибавили элементы второй строки). Преобразованная матрица имеет две ненулевые строки, следовательно, ранг матрицы   равен двум:  .

Теоре́ма Кро́некера — Капе́лли — критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений:

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.

Доказательство (условия совместности системы)

Необходимость

Пусть система совместна. Тогда существуют числа   такие, что  . Следовательно, столбец  является линейной комбинацией столбцов   матрицы  . Из того, что ранг матрицы не изменится, если из системы его строк (столбцов) вычеркнуть или приписать строку (столбец), которая является линейной комбинацией других строк (столбцов) следует, что  .

Достаточность

Пусть  . Возьмем в матрице   какой-нибудь базисный минор. Так как  , то он же и будет базисным минором и матрицы  . Тогда согласно теореме о базисном миноре последний столбец матрицы   будет линейной комбинацией базисных столбцов, то есть столбцов матрицы  . Следовательно, столбец свободных членов системы является линейной комбинацией столбцов матрицы  .