
- •21. Матрицы. Слу в матричной форме.
- •22. Матрица как линейный оператор
- •23. Умножение матриц.
- •24. Определители. Определители 2 и 3 –го порядков.
- •25. Свойства определителей.
- •26. Миноры. Алг. Дополнения
- •27. Разложение определителей по элементам строки.
- •28. Единичная матрица. Обратная матрица.
- •29. Теорема и формулы Крамера.
- •30. Решение линейных систем с помощью обратной матрицы
- •31. Метод Гаусса для решения линейных систем.
- •32. Решение слу методом Жордана-Гаусса
- •33. Ранг. Теорема Кронекера-Капелли
- •34. Собственные вектора и собственные значения.
- •35. Комплексные числа. Алгебра к.Ч.
- •36. Тригонометрическая форма к.Ч.
- •37. Формулы Эйлера. Показательная форма к.Ч.
- •38. Возведение в степень к.Ч.
- •39. Решение алгебраического уравнения n-ной степени. Извлечение корней к.Ч.
- •40. Логарифм к.Ч. (последняя формула)
29. Теорема и формулы Крамера.
Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно). Назван по имени Габриэля Крамера (1704–1752), придумавшего метод.
Описание метода
Для системы линейных уравнений с неизвестными (над произвольным полем)
с
определителем матрицы системы
,
отличным от нуля, решение записывается
в виде
(i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов). В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c1, c2, …, cn справедливо равенство:
В
этой форме формула Крамера справедлива
без предположения, что
отлично
от нуля, не нужно даже, чтобы коэффициенты
системы были бы элементами целостного
кольца (определитель системы может
быть даже делителем нуля в кольце
коэффициентов). Можно также считать,
что либо наборы
и
,
либо набор
состоят
не из элементов кольца коэффициентов
системы, а какого-нибудь модуля над
этим кольцом. В этом виде формула Крамера
используется, например, при доказательстве
формулы для определителя
Грама и Леммы
Накаямы.
30. Решение линейных систем с помощью обратной матрицы
Ма́тричный метод решения (метод решения через обратную матрицу) систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем состоит в следующем.
Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными (над произвольным полем):
Тогда её можно переписать в матричной форме:
,
где
—
основная матрица системы,
и
—
столбцы свободных членов и решений
системы соответственно:
Умножим
это матричное уравнение слева на
—
матрицу, обратную к матрице
:
Так
как
,
получаем
.
Правая часть этого уравнения даст
столбец решений исходной системы.
Условием применимости данного метода
(как и вообще существования решения
неоднородной системы линейных уравнений
с числом уравнений, равным числу
неизвестных) является невырожденность матрицы
A. Необходимым и достаточным условием
этого является неравенство нулюопределителя
матрицы A:
.
Для
однородной системы линейных уравнений,
то есть когда вектор
,
действительно обратное правило:
система
имеет
нетривиальное (то есть ненулевое) решение
только если
.
Такая связь между решениями однородных
и неоднородных систем линейных уравнений
носит название альтернативы
Фредгольма.
31. Метод Гаусса для решения линейных систем.
Формулы Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений не имеют серьезного практического применения, так как связаны с громоздкими выкладками. Практически для решения систем линейных уравнений чаще всего применяется метод Гаусса, состоящий в последовательном исключении неизвестных по следующей схеме.Для того чтобы решить систему уравнений
выписывают
расширенную матрицу этой системы
и
над строками этой матрицы производят
элементарные преобразования, приводя
ее к виду, когда ниже главной диагонали,
содержащей элементы
будут
располагаться нули. Разрешается: 1)
изменять порядок строк матрицы, что
соответствует изменению порядка
уравнений; 2) умножать строки на любые
отличные от нуля числа, что соответствует
умножению соответствующих уравнений
на эти числа; 3) прибавлять к любой строке
матрицы другую, умноженную на отличное
от нуля число, что соответствует
прибавлению к одному уравнению системы
другого, умноженного на число. С помощью
этих преобразований каждый раз получается
расширенная матрица новой системы,
равносильной исходной, т. е. такой
системы, решение которой совпадает с
решением исходной системы.