15. Сравнение с одним неизвестным

Уравнения сравнений

а * a^-1≡1 mod P, где a^-1 =x

a * x ≡ 1 mod P

Общий вид:

ax ≡ b mod P

x ≡ (ba^-1) mod P

Пример:

a=5, b=9, mod = 23

5x = 9mod23,

5→5^-1=y

5 * y ≡ 1 mod 23

5 * 14 => y = 14

x ≡ 9*14 mod P

x = 11

16. Китайская теорема об остатках

Пусть m₁, m₂,...,m_t – модули m_i > 1

(m_i, m_j) > 1; i≠j

Пусть a₁, a₂, ... ,a_t – целые 0≤a_i≤m_i

Пусть M = m₁, m₂ ,m_t, m_i = M/m_i, N_i=M_i^-1

N_i * M_i ≡ 1 mod M_i

Тогда x ≡ a_i (mod m_i)

x ≡ a₁ (mod m₁)

x ≡ a₂ (mod m₂)

x ≡ a_t (mod m_t)

x=(a_i*N_i*M_i)mod M, 0≤X≤M

17. Числа Кармайкла

Нечетное натуральное n называется числом Кармайкла, если оно составное и bⁿ ≡ b (mod n) для всех целых b. Конечно, достаточно проверить это сравнение только для чисел, удовлетворяющих неравенству 1 < b < n-1, поскольку мы работаем по модулю n.

Как показал сам Кармайкл, наименьшее из чисел, открытых им, равно 561. Докажем, что число 561 – число Кармайкла:

561 = 3*11*17 b

561 ≡ b (mod 561)

b⁵⁶¹ ≡ b (mod 17)

далее необходимо рассмотреть два случая:

1) число 17 делит b. В этой ситуации обе части уравнения b⁵⁶¹≡b(mod17) сравнимы с 0 по модулю 17, т.е. сравнение справедливо.

2)Число 17 не делит b.

b¹⁶ ≡ 1 (mod 17)

561 = 35*16+1, поэтому

b⁵⁶¹≡(b¹⁶)³⁵*b≡b(mod17)

19. М-последовательности

Последовательность U_p над полем GF(2), получаемая по соотношению X(t+1)=A_T*X(t) и имеющая максимальный период 2ⁿ -1, называется максимальной линейной рекуррентной последовательностью или M - последовательностью.

При a₀=1 состояние регистра X(0) не является запрещенным. В этом случае начальное состояние регистра, состоящее из всех единиц, является запрещенным, поскольку порождает последовательность U, состоящую также из одних единиц. При других начальных состояниях последовательность U над полем GF(2) также имеет максимальный период 2ⁿ -1, но является инверсной по сравнению с M - последовательностью. Период ЛРП определяется характеристическим многочленом над полем GF(2) матрицы A_T:

f(x)=xⁿ +a₁x^(n-1) +a₂x^(n-2) +...+a_n-1x+a_n, (1)

которым является определитель матрицы ( A_T + XE ), где Е–единичная матрица размера n. Коэффициенты a_i многочлена f (x) определяют первую строку матрицы A. Если характеристический многочлен f (x) над полем GF(2) является неприводимым и примитивным, то период ЛРП равен 2ⁿ -1.

Наименьший из всех возможных периодов ЛРП называется минимальным ее периодом. Если характеристический многочлен f (x) является только неприводимым, то максимальный период ЛРП, в этом случае,

L=ord f<2ⁿ -1.

Начальной информацией для построения ГПСЧ, порождающего ЛПР с заданным периодом L, является характерист. многочлен (1) с ord f =L.

М-последовательности имеют статистическую равномерность на периоде L= 2ⁿ-1, то есть число единиц N1 и нулей N2 определяется величинами N1 = 2^(n-1) и N2 = 2^(n-1) -1.

20. М-1 последовательности

1. Пусть характеристический многочлен f (x) для схемы ГПСП представлен в виде произведения

f (x)= P(x) * q(x)

примитивного многочлена P(x) и линейного многочлена g(x)=x+1, тогда максимальный период многочлена f(x) степени n равен L = 2ⁿ - 2. Последовательности такого типа (с периодом 2ⁿ-2 ) принято называть (M-1) последоват. Минимальный период последовательности, порождаемой ГПСП с рассмотренным характеристическим многочленом, равен

2. В (M-1) последовательности отсутствуют два (запрещенных) n- разрядных двоичных набора, состоящих из чередующихся символов 0 и 1.

3. Число единичных символов в (M 1) последовательности совпадает с числом нулевых символов в периоде L = 2ⁿ - 2 .