10. Поле, конечное поле, расширение конечного поля.

Поля. Множество S называется полем, если + и * определены для (α, β) элементов из S и выполняются следующие аксиомы.

1) Замкнутость по двум операциям (сложения и умножения).

2) Множество S является абелевой группой относительно +.

3) Множество S является абелевой группой относительно *

4) Выполняется дистрибутивность: для любых α,β,уS α(β+y)=βα+yα .

Примером поля являются множество Q рациональных чисел, множество R - действительных чисел. Отметим важное свойство поля - разрешимость линейных уравнений в поле.

Линейным уравнением относительно X над полем F называется выражение вида αх+β=0, где 0,α,βF. Если α≠0, то линейное уравнение αх+β=0 имеет единственное решение в F.

Конечные поля. Поле Fq называется конечным, если множество его элементов конечно. Число q называется порядком конечного поля. Так как поле Fq, по определению, является мультипликативной группой, то каждый ненулевой элемент α поля Fq имеет мультипликативный порядок.

Примитивным элементом поля Fq называется элемент, у которого мультипликативный порядок точно равен q-1.

Любое поле Fq* содержит примитивный элемент. Мультипликативная группа Fq ненулевых элементов произвольного конечного поля Fq циклическая. Примитивный элемент поля Fq является образующим элементом циклической группы F*_q.

Если существует целое kN, такое, что ka=0, α Fq, то k называется аддитивным порядком элемента α. Ненулевые элементы поля Fq имеют один и тот же аддитивный порядок.

Теорема о существовании и единственности конечных полей. Для каждого простого числа q и каждого натурального числа n существует конечное поле GF(qⁿ) из qⁿ элементов.

Поле GF(qⁿ) является расширением поля GF(q). qⁿ называется порядком поля GF(qⁿ), натуральное число n - степенью поля, а простое число q - характеристикой поля GF(qⁿ).

10. Способы нахождения обратных элементов

I. a) Выполняется перебор возможных значений в интервале a^-1= , до тех пор, пока не будет найдено такое a^-1, что будет выполняться (a*a^-1)modm=1.

б)Вариантом переборного алгоритма также является следующий алгоритм. Если НОД (a,m) = 1, то существует а^-1 и a*a⁻¹modm=(1 + m*t) mod m, где t – натуральное число. Числа a и m заданы, неизвестны числа t и a⁻¹. Тогда нужно найти такое t, при котором a⁻¹ будет целым и будет удовлетворять условию существования обратного элемента: a*a⁻¹ ≡ 1 mod m.

Шаги алгоритма.

1. Если НОД(a, m) ≠1, то обратный элемент не существует.

2. Для любого t [0, ) вычисляются следующие действия.

а. Если значение выражения не является натуральным числом,

то переход к пункту 2.

б. Иначе это выражение задает обратный элемент: a^-1=( )mod m, выход.

Алгоритм будет конечен в том случае, когда выполняется условие

условие существования обратного элемента.

II Можно вычислить для элемента a обратный элемент a^-1 и при знании функции Эйлера φ(m), где (a,m) = 1. Так как a^(m)modm 1 и (a·a⁻¹)modm≡1, то a^(m)modm=(a*a^-1)modm=> a^((m)-1)modm=a^-1modm => a^-1=a^((m)-1)modm. Данную формулу можно вычислить с меньшими вычислительными затратами, используя схему Горнера для быстрого возведения числа a в степень (φ(m) - 1).