1.3. Токи в полупроводнике

Дрейфовый ток

Электроны и дырки в кристалле находятся в состоянии хаотического теплового движения. При возникновении электрического поля на хаотическое движение накладывается компонента направленного движения, обусловленного действием этого поля. В результате электроны и дырки начинают перемещаться вдоль кристалла – возникает электрический ток, который называют дрейфовым током.

Подвижность носителей заряда. При движении в полупроводнике электроны периодически сталкиваются с колеблющимися атомами кристаллической решетки. Обозначив среднее время свободного пробега электронов t_n и полагая, что движение электронов в промежутке между столкновениями является равноускоренным, а при столкновении с решеткой они теряют приобретенную под действием поля скорость, получим выражение для средней направленной скорости электронов в полупроводнике:

ύ_n = – 1/2t_n(eE/m_n) = – μ_nE (1.15)

где е = 1,6 10^–19 Кл — заряд электрона, а

μ_n = – ύ_n /E = – t_ne/2m_n

так называемая подвижность электронов.

Подвижность электронов зависит от свойств кристаллической решетки, наличия примесей и температуры. При комнатной температуре подвижность электронов в германии, как показывают измерения, равна 3900 см²/(В·с), а в кремнии— 1350 см²/(В·с). С ростом температуры вследствие усиления тепловых колебаний решетки подвижность электронов уменьшается. Экспериментальные исследования приводят к следующим соотношениям:

μ_n = 3,5 10⁷Т^–1,6 см²/(В·с) — для германия,

μ_n = 5,5.10⁶.Т^{–(1,5 – 2,5)} см²/(В·с)—для кремния.

Примеси не оказывают существенного влияния на величину подвижности при невысоких концентрациях (до 10¹⁵–10¹⁶ см^–3). При более высоких концентрациях подвижность носителей заряда начинает снижаться вследствие рассеяния электронов на ионах примеси. При слабых полях (до 100 В/см в германии) подвижность не зависит от напряженности электрического поля. При значительном увеличении напряженности поля и соответственно дрейфовой скорости электронов эффективность их взаимодействия с решеткой возрастает, электроны теряют во время столкновений относительно большую энергию и их подвижность начинает снижаться. В германии при напряженности поля порядка 8 кВ/см подвижность уменьшается пропорционально 1/Е и с повышением напряженности поля дрейфовая скорость электронов более не возрастает, достигнув максимального значения v_max =6 10⁶ см/с (рис. 1.5). При напряженности поля порядка 100 кВ/см возникает лавинная ионизация атомов решетки, число носителей заряда и ток резко возрастают, наступает пробой полупроводника.

В кремнии максимальное значение дрейфовой скорости v_max = 8,5 10⁶ см/с.

Подвижность дырок в полупроводнике μ_p = v_p/E определяется средней направленной скоростью дырок v_p, приобретаемой под действием электрического поля Е. Подвижность дырок, по данным измерений, значительно ниже подвижности электронов. Так, например, подвижность дырок в германии равна 1900 см²/(В·с), а в кремнии — 430 см²/(В·с). С ростом температуры подвижность дырок снижается несколько быстрее, чем подвижность электронов, в соответствии со следующими эмпирическими соотношениями

μ_p = 9,1·10⁸·Т^–2,3 см²/(В·с) для германия,

μ_p = 2,4·10⁸·Т^{–(2,3–2,7)} см²/(В·с) для кремния.

Плотность дрейфового тока. Плотность электронного дрейфового тока

j _{n др} = – епv_n=еп μ_n Е, (1.16)

а плотность дырочного дрейфового тока j _{p др} = еpv_p=еp μ_p Е. (1.17)

Суммарная плотность дрейфового тока

j_др = е(п μ_n + p μ_p )Е. (1.18)

Это выражение представляет собой закон Ома в дифференциальной форме.

Величина

σ = е(п μ_n + p μ_p )

является удельной электрической проводимостью полупроводника. При низких температурах, когда вероятность ионизации собственных атомов полупроводника мала, концентрация электронов и дырок определяется в основном концентрацией примеси и слабо зависит от температуры, так как все примесные атомы ионизируются при очень низкой температуре. Удельная электрическая проводимость падает с ростом температуры за счет уменьшения подвижности носителей заряда. При достаточно высокой температуре, минимальное значение Т_min которой зависит от соотношения собственной и примесной проводимостей, начинает сказываться ионизация собственных атомов полупроводника, поэтому концентрация подвижных носителей заряда, а следовательно, и проводимость полупроводника резко возрастают. Значение температуры Т_min, при которой появляется рост собственной проводимости полупроводника, тем ниже, чем меньше концентрация примеси (на рисунке при N_а=10¹³-7-10¹⁵см^–3 это значение температуры равно 100—150°С).

Отметим, что при прохождении дрейфового тока через однородный полупроводник концентрация носителей заряда в любом элементарном объеме остается постоянной.

Диффузионный ток

Причиной, вызывающей электрический ток в полупроводнике, может быть не только электрическое поле, но и градиент концентрации подвижных носителей заряда. Если тело электрически нейтрально и в любой его микрообласти суммарный положительный и отрицательный заряд равен нулю, то различие в концентрациях носителей заряда в соседних областях не приведет к появлению электрического тока и электрических сил расталкивания, выравнивающих концентрацию. Но в соответствии с общими законами теплового движения возникнет диффузия микрочастиц из области с большей их концентрацией в область с меньшей концентрацией, причем плотность диффузионного тока пропорциональна градиенту концентрации носителей заряда.

В одномерном случае, т. е. когда концентрация частиц изменяется вдоль одной координаты, может быть написано следующее выражение для тока дырок:

j _{p дФ} = – еD_pdp/dx, 1.19)

где D_p — коэффициент диффузии дырок, равный 44 см²/с для германия и 65 см²/с для кремния; dp/dx — градиент концентрации дырок.

Знак минус указывает, что диффузионный дырочный ток направлен в сторону уменьшения концентрации дырок.

Плотность диффузионного тока электронов определяется подобным же соотношением

j_{n дФ} = еD_ndn/d. (1.20)

Здесь D_n — коэффициент диффузии электронов, равный 93 см²/с для германия и 31 см²/с для кремния; dn/dx — градиент концентрации электронов.

Диффузионный поток электронов движется также в сторону уменьшения концентрации, однако в соответствии с принятым в электротехнике условным направлением электрического тока электронный диффузионный ток считают направленным в сторону увеличения концентрации электронов, т. е. навстречу потоку электронов; поэтому перед правой частью выражения (1.20) стоит знак плюс.

В общем случае в полупроводнике могут существовать и электрическое поле, и градиент концентрации носителей заряда. Тогда ток в полупроводнике будет иметь как дрейфовую, так и диффузионную составляющие:

j_n =еп μ_n Е + eD_ndn/dx, (1.21)

j_p = еpμ_p Е + eD_pdp/dx. (1.22)

Уравнение непрерывности

Концентрация носителей заряда в элементарном объеме полупроводника может изменяться за счет генерации и рекомбинации носителей, а также вследствие различия в величинах втекающего и вытекающего токов. Обозначив обусловленную внешними причинами скорость генерации носителей заряда g, скорость рекомбинации (dp/dt)_τ и скорость изменения концентрации носителей заряда за счет различия в величинах втекающего и вытекающего токов (dp/dt)_j, можно написать, что скорость изменения концентрации носителей заряда в рассматриваемом объеме

dp/dt = (dp/dt)_τ + (dp/dt)_j + g. (1.23)

В дальнейшем будем считать, что вызванная внешними причинами генерация носителей заряда в рассматриваемом объеме отсутствует, следовательно, g = 0. Скорость рекомбинации в соответствии с выражением (1.14)

(dp/dt)_τ = – (p – p_n)/τ.

Найдем скорость изменения концентрации носителей заряда, обусловленную различием в величинах втекающего и вытекающего токов. Пусть элементарный объем dV=dx*1 см², плотность тока, втекающего в этот объем, равна J(x), а плотность вытекающего тока составляет J(x +dx) (рис. 1.7). За время dt в рассматриваемый объем dV будет введен заряд dq1= J(x)dt, а выведен заряд dq₂=J (x+dx)dt. Тогда изменение концентрации носителей заряда в объеме dV за время dt будет равно dp = – 1/e,

а скорость изменения концентрации носителей заряда

(dp/dt)_j = 1/e dJ/dx .

Плотность тока в полупроводнике

J = еpμ_p Е – eD_pdp/dx.

Тогда скорость изменения концентрации носителей заряда, обусловленная зависимостью величины плотности тока от координаты, при E = const равна

dp/dt = – μ_p Еdp/dx + D_pd²p/dx²

Полная скорость изменения концентрации неосновных носителей заряда в полупроводнике n–типа

dp/dt = – (p – p_n)/τ_p – μ_p Еdp/dx + D_pd²p/dx² (1.24)

Это выражение называется уравнением непрерывности.

Аналогичное уравнение можно написать и для электронов, являющихся неосновными носителями заряда в дырочном полупроводнике:

dn/dt = – (n –n _p)/τ_n – μ_n Еdn/dx + D_nd²n/dx² (1.25)

Уравнение непрерывности устанавливает зависимость скорости изменения концентрации носителей заряда от избыточной концентрации, ее градиента и пространственной производной градиента. Оно играет важную роль при анализе процессов в полупроводниковых приборах.