Ключевые принципы

Интернет состоит из многих тысяч корпоративных, научных, правительственных и домашних компьютерных сетей. Объединение сетей разной архитектуры и топологиистало возможно благодаря протоколу IP (англ. Internet Protocol) и принципу маршрутизации пакетов данных.

Протокол IP был специально создан агностическим в отношении физических каналов связи. То есть любая система (сеть) передачи цифровых данных, проводная или беспроводная, для которой существует стандарт инкапсуляции в неё IP-пакетов, может передавать и трафик Интернета. Агностицизм протокола IP, в частности, означает, что компьютер или маршрутизатор должен знать тип сетей, к которым он непосредственно присоединён, и уметь работать с этими сетями; но не обязан (и в большинстве случаев не может) знать, какие сети находятся за маршрутизаторами.

На стыках сетей специальные маршрутизаторы (программные или аппаратные) занимаются автоматической сортировкой и перенаправлением пакетов данных, исходя изIP-адресов получателей этих пакетов. Протокол IP образует единое адресное пространство в масштабах всего мира, но в каждой отдельной сети может существовать и собственное адресное подпространство, которое выбирается исходя из класса сети. Такая организация IP-адресов позволяет маршрутизаторам однозначно определять дальнейшее направление для каждого пакета данных. В результате между отдельными сетями Интернета не возникает конфликтов, и данные беспрепятственно и точно передаются из сети в сеть по всей планете и ближнему космосу.

Сам протокол IP был рождён в дискуссиях внутри организации IETF (англ. Internet Engineering Task Force; Task force — группа специалистов для решения конкретной задачи), чьё название можно вольно перевести как «Группа по решению задач проектирования Интернета». IETF и её рабочие группы по сей день занимаются развитием протоколов Всемирной сети. IETF открыта для публичного участия и обсуждения. Комитеты организации публикуют так называемые документы RFC. В этих документах даются технические спецификации и точные объяснения по многим вопросам. Некоторые документы RFC возводятся организацией IAB (англ. Internet Architecture Board — Совет по архитектуре Интернета) в статус стандартов Интернета (англ. Internet Standard). С 1992 года IETF, IAB и ряд других интернет-организаций входят в Общество Интернета (англ. Internet Society, ISOC). Общество Интернета предоставляет организационную основу для разных исследовательских и консультативных групп, занимающихся развитием Интернета.

Интернет-прова́йдер (иногда просто провайдер; от англ. internet service provider, сокр. ISP — поставщик интернет-услуги) — организация, предоставляющая услуги доступа к сети Интернет и иные связанные с Интернетом услуги.

IP-адрес (айпи-адрес, сокращение от англ. Internet Protocol Address) — уникальный сетевой адрес узла в компьютерной сети, построенной по протоколу IP. В сети Интернет требуется глобальная уникальность адреса; в случае работы в локальной сети требуется уникальность адреса в пределах сети. В версии протокола IPv4 IP-адрес имеет длину 4 байта.

nternet Protocol (IP) — межсетевой протокол. Относится к маршрутизируемым протоколам сетевого уровня семейства TCP/IP. Именно IP стал тем протоколом, который объединил отдельные подсети во всемирную сеть Интернет. Неотъемлемой частью протокола является адресация сети (см. IP-адрес).

27

Основные ресурсы Интернет

Рассмотрим основные ресурсы (службы) Интернет. Самым популярным ресурсом является всемирная паутина или WWW, которая представляет собой огромное количество (свыше миллиарда) мультимедийных документов, отличительной особенностью которых является возможность ссылаться друг на друга. Это означает присутствие в текущем документе ссылки, реализующей переход на любой документ WWW, который физически может быть размещен на другом компьютере сети Интернет. Используя специальные программы просмотра документов WWW, пользователь сети Интернет может быстро перемещаться по ссылкам от одного документа к другому, путешествуя по пространству всемирной паутины.

WWW (World Wide Web, всемирная паутина) — совокупность взаимосвязанных гипермедийных документов.

В Интернет размещены целые библиотеки файлов, доступ к которым обеспечивается службой FTP.

FTP (File Transfer Protocol, протокол передачи файлов) — хранилище и система пересылки всевозможных файлов.

Как упоминалось выше, вначале компьютерная сеть интенсивно использовалась для быстрой пересылки текстовых сообщений. Поэтому старейшим ресурсом Internet является E-mail (электронная почта).

E-mail (электронная почта) — система пересылки электронных писем.

В Интернет существует специальная служба, позволяющая размещать на взаимосвязанных компьютерах сообщения для обмена мнениями. Подключившись к одному из таких компьютеров и выбрав дискуссионную группу (телеконференцию) по интересам, вы можете прочитать опубликованные сообщения, задать вопрос в группу или ответить на чей-то вопрос. Сообщения обычно быстро тиражируются на другие компьютеры и хранятся небольшой промежуток времени, поэтому данный ресурс получил название Группы новостей.

Гиперте́кст — термин, введённый Тедом Нельсоном в 1965 году для обозначения «текста ветвящегося или выполняющего действия по запросу». Обычно гипертекст представляется набором текстов, содержащих узлы перехода между ними, которые позволяют избирать читаемые сведения или последовательность чтения. Общеизвестным и ярко выраженным примером гипертекста служат веб-страницы — документы HTML (язык разметки гипертекста), размещённые в Сети. В более широком понимании термина, гипертекстом является любая повесть, словарь или энциклопедия, где встречаются отсылки к другим частям данного текста, имеющие отношения к данному термину. В компьютерной терминологии, гипертекст — текст, сформированный с помощью языка разметки, потенциально содержащий в себе гиперссылки.

28

Электро́нная по́чта (англ. email, e-mail, от англ. electronic mail) — технология и предоставляемые ею услуги по пересылке и получению электронных сообщений (называемых «письма» или «электронные письма») по распределённой (в том числе глобальной) компьютерной сети.

Электронная почта по составу элементов и принципу работы практически повторяет систему обычной (бумажной) почты, заимствуя как термины (почта, письмо, конверт, вложение, ящик, доставка и другие), так и характерные особенности — простоту использования, задержки передачи сообщений, достаточную надёжность и в то же время отсутствие гарантии доставки.

IRC (англ. Internet Relay Chat) — протокол прикладного уровня для обмена сообщениями в режиме реального времени.

Разработан в основном для группового общения, также позволяет общаться через личные сообщения и обмениваться данными, в т.ч. файлами.

IRC использует транспортный протокол TCP и криптографический TLS (опционально).

IRC начало завоевывать особенную популярность после операции «Буря в пустыне» (1991), когда сообщения со всего мира собирались в одном месте и в режиме «on-line» транслировались в IRC.[1]

Ввиду технической простоты реализации протокол IRC в последнее время стал использоваться при организации ботнетов в качестве средства передачи управляющих команд компьютерам-участникам ботнета от владельца.

ICQ (англ. I seek You — «я ищу тебя») — централизованная служба мгновенного обмена сообщениями сети Интернет, в настоящее время принадлежащая инвестиционному фонду Mail.ru Group (Россия).

ICQ является централизованной службой мгновенного обмена сообщениями, использующей протокол OSCAR. Пользователь службы работает с программой-клиентом (т. н. мессенджер), запущенной на устройстве, соединённом с сетью Интернет. Мессенджер подключается к серверу. Через сервер осуществляется поиск и связь с другими клиентами, а обмен служебными данными, сообщениями между пользователями может осуществляться как через сервер так и без его участия. Как и в большинстве мощных сетевых систем, обслуживающих огромное количество клиентских запросов, этот сервер не единственный и некоторые из них являются кластерами серверов.

Служба является коммерческой, но её использование бесплатно. Управляет службой ICQ Inc. С момента создания служба принадлежала её разработчику, компании Mirabilis, в 1998 году она была продана американской компании AOL, а в апреле 2010 года — российскому инвестиционному фонду Digital Sky Technologies (DST). После реорганизации DST в сентябре 2010 года ICQ вошла в состав Mail.Ru Group. Помимо самого обеспечения функционирования службы, ICQ Inc. разрабатывает программы-клиенты и поддерживает вспомогательный веб-портал.

За годы существования ICQ выпустила множество клиентов и претерпела множество изменений. По состоянию на декабрь 2011 г. общая ежемесячная аудитория ICQ в России составляет 15,7 миллионов (в мире — 27 миллионов)(http://corp.mail.ru/communications)[1]. Некоторые компании в списках контактов на официальных сайтах указывают номера UIN. ICQ часто используется службами техподдержки для мгновенной помощи.

FTP (англ. File Transfer Protocol — протокол передачи файлов) — стандартный протокол, предназначенный для передачи файлов по TCP-сетям (например, Интернет). FTP часто используется для загрузки сетевых страниц и других документов с частного устройства разработки на открытые сервера хостинга.

Протокол построен на архитектуре "клиент-сервер" и использует разные сетевые соединения для передачи команд и данных между клиентом и сервером. Пользователи FTP могут пройти аутентификацию, передавая логин и пароль открытым текстом, или же, если это разрешено на сервере, они могут подключиться анонимно. Можно использовать протокол SSH для безопасной передачи, скрывающей (шифрующей) логин и пароль, а также шифрующей содержимое.

Первые клиентские FTP-приложения были интерактивными инструментами командной строки, реализующими стандартные команды и синтаксис. Графические пользовательские интерфейсы с тех пор были разработаны для многих используемых по сей день операционных систем. Среди этих интерфейсов как программы общего веб-дизайна вроде Microsoft Expression Web, так и специализированные FTP-клиенты (например, CuteFTP).

FTP является одним из старейших прикладных протоколов, появившимся задолго до HTTP, в 1971 году. Он и сегодня широко используется для распространения ПО и доступа к удалённым хостам.

29

Практически все услуги сети Internet построены на принципе клиент-сервер, причем сервер - это компьютер, способный предоставлять клиентам сетевые услуги по их запросам. С приходом запросов от клиентов сервер запускает различные программы предоставления сетевых услуг. По мере их выполнения сервер отвечает на запросы клиентов. Программное обеспечение сети можно разделить на серверное и клиентское. Программное обеспечение сервера занимается предоставлением сетевых услуг, а клиентское программное обеспечение осуществляет передачу запросов серверу и получение от него ответов.

Сеть Internet построена в основном на базе компьютеров, работающих под управлением ОС Unix. Эта операционная система требует обычно мощных компьютеров с большими объемами оперативной памяти и НЖМД. Кроме того, она имеет не самый хороший пользовательский интерфейс. В связи с этим для приобщения к сети новых абонентов особое значение имеют пакеты клиентского программного обеспечения (КПО), работающие под управлением операционных систем MS Windows. Они намного дешевле, чем ОС Unix, просты в использовании и обеспечивают доступ почти ко всем ресурсам сети Internet.

Веб-обозрева́тель, бра́узер (от англ. Web browser, МФА: [wɛb ˈbraʊ.zə(ɹ), -zɚ]; устар. броузер[1][2]) — программное обеспечение для просмотра веб-сайтов, то есть для запроса веб-страниц (преимущественно из Сети), их обработки, вывода и перехода от одной страницы к другой. Многие современные браузеры также могут загружать файлы с FTP-серверов.

Браузеры постоянно развивались со времени зарождения Всемирной паутины и с её ростом становились всё более востребованными программами. Ныне браузер — комплексное приложение для обработки и вывода разных составляющих веб-страницы и для предоставления интерфейса между веб-сайтом и его посетителем. Практически все популярные браузеры распространяются бесплатно или «в комплекте» с другими приложениями: Internet Explorer(совместно с Microsoft Windows), Mozilla Firefox (бесплатно, свободное ПО, совместно с многими дистрибутивами Linux, например Ubuntu), Safari (совместно с Mac OS X и бесплатно для Microsoft Windows), Google Chrome (бесплатно), Opera (бесплатно начиная с версии 8.49).

Поиско́вая систе́ма — программно-аппаратный комплекс с веб-интерфейсом, предоставляющий возможность поиска информации в Интернете. Под поисковой системой обычно подразумевается сайт, на котором размещён интерфейс (фронт-энд) системы. Программной частью поисковой системы является поисковая машина (поисковый движок) — комплекс программ, обеспечивающий функциональность поисковой системы и обычно являющийся коммерческой тайной компании-разработчика поисковой системы.

Большинство поисковых систем ищут информацию на сайтах Всемирной паутины, но существуют также системы, способные искать файлы на FTP-серверах, товары в интернет-магазинах, а также информацию в группах новостей Usenet.

Улучшение поиска — это одна из приоритетных задач современного Интернета (см. про основные проблемы в работе поисковых систем в статье Глубокая паутина).

По данным компании Net Applications,[1] в ноябре 2011 года использование поисковых систем распределялось следующим образом:

Google — 83,87 %;

Yahoo! — 6,20 %;

Baidu — 4,22 %;

Bing — 3,69 %;

Yandex — 1,7 %;

Ask — 0,57 %;

AOL — 0,36 %.

30

Случа́йное собы́тие — подмножество множества исходов случайного эксперимента; при многократном повторении случайного эксперимента частота наступления события служит оценкой его вероятности.

Случайное событие, которое никогда не реализуется в результате случайного эксперимента, называется невозможным. Случайное событие, которое всегда реализуется в результате случайного эксперимента, называется достоверным

33

Случайной величиной называется числовая переменная величина, принимающая в зависимости от случая те или иные значения с определёнными вероятностями. Число попаданий в цель при данном числе выстрелов, скорость молекулы газа являются типичными примерами случайных величин.

Для задания случайной величины нужно знать множество всевозможных её значений и вероятности, с которыми эта случайная величина принимает свои значения. Все эти данные образуют закон распределения случайной величины или распределение вероятности.

Примеры дискретных случайных величин:

1) дискретная случайная величина Бернулли(закон распределения Бернулли). Закон распределения дискретной случайной величины Бернулли имеет следующий вид: 0<p<1

Такому распределению соответствует бросание монеты, на одной стороне которой - 0, а на второй - 1.

 

2) дискретная биномиальная случайная величина(биномиальное распределение). Закон распределения данной дискретной случайной величины запишется следующим образом:

где 

Число успехов в n испытаниях схемы Бернулли имеет биномиальное распределение.

Примеры непрерывных случайных величин:

 

1) нормальная непрерывная случайная величина, или непрерывная случайная величина Гаусса(нормальное распределение). Непрерывная случайная величина   имеет нормальное (гауссовское) распределение, если её плотность распределения имеет вид

     Если  , то распределение называется стандартным нормальным распределением.

     Важная роль этого распределения объясняется тем, что оно обычно возникает в явлениях, подверженных действию большого числа малых случайных величин. Так, математическая теория выборочного метода в статистике для расчета некоторых показателей широко использует нормальное распределение.

 

2)экспоненциальная (показательная) непрерывная случайная величина(экспоненциальное распределение).  Непрерывная случайная величина   имеет экспоненциальное(показательное) распределение с параметром  , если её плотность имеет вид

     Экспоненциальному распределению подчиняется время распада ядер атомов различных элементов. Оно обладает важным свойством - отсутствием последствия. Несложно убедиться в том, что вероятность распада ядра за время  при условии, что перед этим оно уже прожило время  , совпадает с безусловной вероятностью распада того же самого ядра за время . Именно это свойство и представляет собой отсутствие последствия.

 

Математи́ческое ожида́ние — среднее значение случайной величины, распределение вероятностей случайной величины, рассматривается в теории вероятностей.^[1] В англоязычной литературе и в математическом сообществе Санкт-Петербурга обозначается через   (например, от англ. Expected value или нем. Erwartungswert), в русской —   (возможно, от англ. Mean value или нем. Mittelwert, а возможно от рус. Математическое ожидание). В статистике часто используют обозначение  .

Диспе́рсия случа́йной величины́ — мера разброса данной случайной величины, то есть её отклонения от математического ожидания. Обозначается   в русской литературе и   (англ. variance) в зарубежной. В статистике часто употребляется обозначение   или  . Квадратный корень из дисперсии, равный  , называется среднеквадрати́чным отклоне́нием, станда́ртным отклоне́нием или стандартным разбросом. Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, а дисперсия измеряется в квадратах этой единицы измерения.

Среднее квадратическое отклонение представляет собой среднюю квадратическую из отклонений отдельных значений признака от их средней арифметической:

Среднее квадратическое отклонение является именованной величиной, имеет размерность усредняемого признака, экономически хорошо интерпретируется. Она также используется для оценки надежности средней: чем меньше cреднее квадратическое отклонение σ , тем надежнее cреднее значение признака x , тем лучше средняя представляет исследуемую совокупность. Для распределений, близких к нормальным между средним квадратическим отклонением и средним линейным отклонением существует следующая зависимость: 

34

Нормальный закон распределение

 

Непрерывная случайная величина Х называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность распределения равна

,

где m - математическое ожидание случайной величины;

σ² - дисперсия случайной величины, характеристика рассеяния значений случайной величины около математического ожидания.

Условием возникновения нормального распределения являются формирование признака как суммы большого числа взаимно независимых слагаемых, ни одно из которых не характеризуется исключительно большой по сравнению с другими дисперсиями.

Нормальное распределение является предельным, к нему приближаются другие распределения.

Математическое ожидание случайной величины Х. распределено по нормальному закону, равно

m_x = m, а дисперсия D_x = σ².

Вероятность попадания случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, в интервале(α, β) выражается формулой

где  - табулированная функция

Законы распределения случайных величин

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, неизвестно заранее, какое именно.

 Дискретной (прерывной) случайной величиной называется случайная величина, принимающая отдельные друг от друга значения, которые можно перенумеровать.

Непрерывной случайной величиной называется случайная величина, возможные значения которой непрерывно заполняют какой-то промежуток.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Закон распределения может иметь разные формы.

Рядом распределения дискретной случайной величины Х называется таблица, где перечислены возможные (различные) значения этой случайной величины х₁, х₂, ..., х_n с соответствующими им вероятностями р₁, р₂, ..., р_n:

35

Статистическая совокупность - множество единиц, обладающих массовостью, типичностью, качественной однородностью и наличием вариации.

Статистическая совокупность состоит из материально существующих объектов (Работники, предприятия, страны, регионы), является объектом статистического исследования.

Единица совокупности — каждая конкретная единица статистической совокупности.

Одна и таже статистическая совокупность может быть однородна по одному признаку и неоднородна по другому.

Качественная однородность — сходство всех единиц совокупности по какому-либо признаку и несходство по всем остальным.

В статистической совокупности отличия одной единицы совокупности от другой чаще имеют количественную природу. Количественные изменения значений признака разных единиц совокупности называются вариацией.

Вариация признака — количественное изменение признака (для количественного признака) при переходе от одной единицы совокупности к другой.

Признак - это свойство, характерная черта или иная особенность единиц, объектов и явлений, которая может быть наблюдаема или измерена. Признаки делятся на количественные и качественные. Многообразие и изменчивость величины признака у отдельных единиц совокупности называется вариацией.

Атрибутивные (качественные) признаки не поддаются числовому выражению (состав населения по полу). Количественные признаки имеют числовое выражение (состав населения по возрасту).

Показатель — это обобщающая количественно качестванная характеристика какого-либо свойства единиц или совокупности в цельм в конкретных условиях времени и места.

Система показателей — это совокупность показателей всесторонне отражающих изучаемое явление.

Генеральная совокупность и выборка из нее

Основу статистического исследования составляет множество данных, полученных в результате измерения одного или нескольких признаков. Реально наблюдаемая совокупность объектов, статистически представленная рядом наблюдений  случайной величины  , является выборкой, а гипотетически существующая (домысливаемая) — генеральной совокупностью. Генеральная совокупность может быть конечной (число наблюдений N = const) или бесконечной (N = ∞), а выборка из генеральной совокупности — это всегда результат ограниченного ряда   наблюдений.

Вариационный ряд — упорядоченная по величине последовательность выборочных значений наблюдаемой случайной величины

Гистогра́мма (от др.-греч. ἱστός — столб + γράμμα — черта, буква, написание) — способ графического представления табличных данных.

Количественные соотношения некоторого показателя представлены в виде прямоугольников, площади которых пропорциональны. Чаще всего для удобства восприятия ширину прямоугольников берут одинаковую, при этом их высота определяет соотношения отображаемого параметра.

Таким образом, гистограмма представляет собой графическое изображение зависимости частоты попадания элементов выборки от соответствующего интервала группировки.

Полиго́н часто́т (в математической статистике) — один из способов графического представления плотности вероятности случайной величины. Представляет собой ломаную, соединяющую точки, соответствующие срединным значениям интервалов группировки и частотам этих интервалов.

Мода — значение во множестве наблюдений, которое встречается наиболее часто. Случайная величина может не иметь моды. Иногда в совокупности встречается более чем одна мода (например: 2, 6, 6, 6, 8, 9, 9, 9, 10; мода = 6 и 9). В этом случае можно сказать, что совокупность мультимодальна. Из структурных средних величин только мода обладает таким уникальным свойством. Как правило мультимодальность указывает на то, что набор данных не подчиняется нормальному распределению.

Мода как средняя величина употребляется чаще для данных, имеющих нечисловую природу. Среди перечисленных цветов автомобилей — белый, черный, синий металлик, белый, синий металлик, белый — мода будет равна беломуцвету. Медиа́на (50-й процентиль, квантиль 0,5) — возможное значение признака, которое делит ранжированную совокупность (вариационный ряд выборки) на две равные части: 50 % «нижних» единиц ряда данных будут иметь значение признака не больше, чем медиана, а «верхние» 50 % — значения признака не меньше, чем медиана.

Медиана является важной характеристикой распределения случайной величины и так же, как математическое ожидание, может быть использовано для центрирования распределения. Однако, медиана более робастна и поэтому может быть более предпочтительной для распределений с т.н. тяжёлыми хвостами.

Медиана определяется для широкого класса распределений (например, для всех непрерывных), а в случае неопределённости, естественным образом доопределяется (см. ниже), в то время как математическое ожидание может быть не определено (например, у распределения Коши).

Вы́борочное (эмпири́ческое) сре́днее — это приближение теоретического среднего распределения, основанное на выборке из него.

Выборочная дисперсия в математической статистике — это оценка теоретической дисперсии распределения на основе выборки. Различают выборочную дисперсию и несмещённую, или исправленную, выборочные дисперсии. Выборочная дисперсия — это случайная величина

,

Выборочное среднее квадратическое отклонение дает более точную оценку параметра о, чем выборочный размах или крайние значения, но при этом усложняются расчеты. Точность метода средних квадратических отклонений с увеличением объема выборки повышается, а точность метода размахов понижается. При 10 метод размахов применять не рекомендуется, его целесообразно заменять методом средних размахов. [

36

Статистическим распределением выборки. Статистическое распределение записывается в виде таблицы: 1 строка – варианты; 2 строка – частоты.

n – объем выборки(частота).Иногда вместо частот используют относительную частоту:W_i = n_i / n ; ΣWi = 1 Разность между наибольшим и наименьшим элементами выборки называется размахом выборки, т.е. R = x_max-x_min

При большом объеме выборки ее элементы объединяются в группы. В процессе группированного ряда подсчитываются также накопленные частоты. ñ_i* - частота i-интервала равна сумме частот: ñ₃* = ñ₁+*ñ₂*+ñ₃*

Ŵi*- накопленная относительная частота.

экспоненциальная (показательная) непрерывная случайная величина(экспоненциальное распределение).  Непрерывная случайная величина   имеет экспоненциальное(показательное) распределение с параметром  , если её плотность имеет вид

Эмпирическая функция распределения

Эмпирической функцией распределения, полученной по выборке , называется функция, при каждом равная

, (1.1)

где .

Очевидно, что ступенчатая функция (рис 3), имеющая разрыва в точках, соответствующих, наблюдаемым выборочным значениям. Величина скачка в точке равна относительной частоте значения . Эмпирическая функция распределения является оценкой функции распределения.

37/

Точечные оценки

5.3.1. Определения и требования к оценкам

1. Состоятельность. Точечная оценка _В называется состоятельной, если при неограниченном увеличении объема выборки ( ) она стремится к истинному значению параметра .

В математической статистике показывается, что состоятельной оценкой генерального среднего значения  , является выборочное среднее арифметическое  , а состоятельной оценкой генеральной дисперсии   — выборочная дисперсия  . Методы вычисления этих выборочных характеристик были рассмотрены в гл. 3.

2. Несмещенность. Оценка _В называется несмещенной, если она не содержит систематической ошибки, т. е. среднее значение оценки, определенное по многократно повторенной выборке объема n из одной и той же генеральной совокупности, стремится к истинному значению соответствующего генерального параметра .

Выборочное среднее арифметическое   является несмещенной оценкой генерального среднего  .

Несмещенной оценкой генеральной дисперсии   является исправленная выборочная дисперсия, вычисляемая по формуле:

 для несгруппированных данных,

 для сгруппированных данных,

 

3. Эффективность. Несмещенная оценка является эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию по сравнению с другими несмещенными оценками того же параметра генеральной совокупности.

Это надо понимать так: полученные по выборке оценки   и S² — случайные величины, так как случайны сами выборочные значения. Поэтому можно говорить о математическом ожидании и дисперсии оценок   и S². Эффективность этих оценок означает, что их дисперсии D( ) и D(S²) меньше дисперсий любых других несмещенных оценок среднего значения и дисперсии генеральной совокупности.

Итак, наилучшими в указанном смысле оценками генерального среднего значения и генеральной дисперсии являются выборочные характеристики  ,  .