10. Математические модели принципиальных схем с использованием графов.

2.1 Использование графов для описания принципиальных схем.

Для решения задач покрытия, компоновки и размещения математическая модель схемы обычно представляется в виде графа, в котором вершины соответствуют отдельным элементам схемы, а его ребра – электрическим связям.

Граф – это математический объект, который состоит из множества вершин и множества ребер или дуг, находящихся с собой в некотором отношении.

Обозначение графа: G=(X,U), где Х – множество вершин; U – множество ребер.

Большинство задач удобно решать при помощи матричного задания графов.

2.1.1 Описание графа матрицей смежности.

В этом случае элементы матрицы образуются по правилу:

П ример:

2.1.2 Описание графа матрицей инцидентности.

В этом случае элементы матрицы образуются по правилу:

Пример для рассмотренного выше графа:

Пример описания схемы с помощью графа:

Кроме рассмотренных гримеров существуют и другие варианты описания схем с помощью графов (например, с помощью т.н. графа Кёнига).

2.2. Математическая модель печатной платы.

В математическом аппарате для автоматизированного проектирования, печатную плату или кристалл микросхемы принято называть монтажно-коммутационным полем (МКП). Модель МКП служит для решения двух задач: размещения и трассировки. В случае печатной платы МКП является плоским и обычно имеет прямоугольную форму, так как введением областей запрета на размещение или на трассировку, можно придать пространству произвольную форму.

Наибольшее распространение для решения задач размещения получили эвристические дискретные модели. В них МКП разбивается на элементарные площадки (дискреты), каждая из которых предназначена для размещения одного конструктивного модуля более низкого уровня, например микросхемы на печатной плате.

Для описания МКП обычно используют т.н. матрицу расстояний, в которой строки и столбцы соответствуют дискретам МКП, а элемент матрицы определяется как расстояние между соответствующими дискретами в соответствии с выбранной метрикой пространства. Элементы, лежащие на главной диагонали матрицы принимаются равными нулю.

Таким образом, для решения задачи размещения необходимо иметь две матрицы, первая описывает МКП (матрица расстояний), а вторая схему устройства (матрица смежности).

Рассмотрим одну из моделей МКП для решения задач трассировки на примере комбинированной дискретно-графовой модели МКП. В этом случае каждому дискрету ставится в соответствие вершина графа. Вершины S_i и S_j соединяются ветвью, если они соответствуют соседним дискретам, через которые может проходить проводник. Трассы проводников могут проходить только по ветвям графа, а длина трасс определяется в соответствии с выбранной метрикой пространства.

11. Задача покрытия. Критерии и ограничения, алгоритмы решения.

Исходными данными для задачи покрытия являются функциональная схема соединений логических элементов узла и логические схемы типовых конструктивных элементов (модулей), предназначенных для реализации данной функциональной схемы. Необходимо каждый логический элемент функциональной схемы реализовать логическими элементами, входящими в состав типовых модулей, с учетом определенных требований и ограничений.

Наборы типовых модулей включают в себя модули:

1. Элементные – состоящие из логически не связанных между собой элементов.

2. Функциональные – состоящие из функциональных логических узлов, в которых логические элементы связаны между собой.

В зависимости от конструктивных особенностей изделия необходимо оптимизировать следующие показатели:

1. Суммарную стоимость модулей, участвующих в покрытии;

2. Общее число модулей в покрытии;

3. Число типов используемых модулей;

4. Количество связей между модулями.

Рассмотрим математическую постановку задачи. Пусть задан набор:

T=(t₁, t₂, …t_n), где n – число типов модулей в наборе.

Этот набор характеризуется матрицей , где a_ij – соответствует числу элементов i‑го в модуле j-го типа, m – общее число типов логических элементов в модулях набора.

Состав заданной функциональной схемы характеризуется вектором: , где b_i – число логических элементов i‑го типа в схеме. Введем целочисленную переменную x_j , характеризующую количество модулей j-го типа, необходимых для покрытия заданной схемы.

Если взять критерием оптимизации минимум количества модулей в покрытии, тогда целевая функция задачи имеет вид: .

Чаще всего для реальных схем используются приближенные, эвристические методы решения задачи покрытия.

Эвристический алгоритм – это эмпирическое правило или стратегия, использующаяся без доказательства эффективности решения.