Приближенное вычисление корней
Пусть
нужно извлечь корень
.
Всегда можно подобрать такое целое
число
,
чтобы
было возможно ближе к
,
тогда
При
условии
последнее выражение можно вычислить,
используя биномиальный ряд:
,
.
Пример
22.
Вычислить
с точностью до 0,0001.
Используя биномиальный ряд
,
при
,
получим
Это знакочередующийся ряд.
; 
.
Поэтому,
ограничившись суммой первых трех членов,
получаем
.
Приближенное вычисление определенных интегралов
Многие практически нужные интегралы не могут быть вычислены с помощью формулы Ньютона-Лейбница, так как первообразная не может быть выражена через конечное число элементарных функций.
Однако, если подынтегральная функция разлагается в степенной ряд, а пределы интегрирования принадлежат области сходимости, то можно вычислить определенный интеграл с заданной степенью точности.
Пример
23.
Вычислить
с точностью 0,0001.
1) Разложим подынтегральную функцию в ряд:
,
.
Проинтегрируем его почленно:
Получили знакочередующийся ряд. Для обеспечения требуемой точности достаточно взять сумму первых 7 членов, так как при
при
.
4) Вычислим приближенно интеграл с одной запасной цифрой.
Округляя,
получим
.
Приближенное решение дифференциальных уравнений
Степенные ряды широко используются при интегрировании дифференциальных уравнений. В этом случае решение задачи Коши
;
;
ищется в виде степенного ряда
.
Пример
24.
Найти первые пять членов разложения в
степенной ряд решения задачи Коши
,
.
Так как начальное условие задано при , то
(начальное
условие).
Получаем
ряд 
.
Теоретические вопросы
Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости ряда.
Теоремы сравнения.
Признаки Даламбера и Коши.
Интегральный признак сходимости ряда.
Теорема Лейбница.
Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда.
Теорема о равномерной сходимости степенного ряда.
Разложение функции в степенной ряд. Ряд Тейлора.
Разложение по степеням
бинома
.Условие разложимости функции в ряд Тейлора.
Разложение по степеням функций
,
,
,
.
Расчетные задания
Задача 1. Найти сумму ряда.
1.1.
. 1.2.
. 1.3.
.
1.4.
. 1.5.
. 1.6.
.
1.7.
. 1.8.
. 1.9.
.
1.10.
. 1.11.
. 1.12
.
1.13
. 1.14
. 1.15.
.
1.16
. 1.17.
. 1.18.
.
1.19.
. 1.20.
. 1.21.
.
1.22.
. 1.23.
. 1.24.
.
1.25
. 1.26.
. 1.27.
.
1.28.
. 1.29.
. 1.30.
.
Задача 2. Исследовать на сходимость ряд.
2.1.
. 2.2.
. 2.3.
.
2.4.
. 2.5.
. 2.6.
.
2.7.
. 2.8.
. 2.9.
.2.10.
. 2.11.
. 2.12.
.
2.13.
. 2.14
. 2.15.
.
2.16.
.2.17.
. 2.18.
.
2.19.
. 2.20.
.2.21.
.
2.22.
. 2.23.
. 2.24.
.
2.25.
. 2.26.
. 2.27.
.
2.28.
. 2.29.
. 2.30.
.
Задача 3. Исследовать на сходимость ряд.
3.1.
. 3.2.
. 3.3.
.
3.4.
. 3.5.
. 3.6.
.
3.7.
. 3.8.
. 3.9.
.
3.10.
. 3.11.
. 3.12.
.
3.13.
. 3.14.
. 3.15.
.
3.16.
.
3.17.
. 3.18.
.
3.19.
. 3.20.
. 3.21.
.
3.22.
. 3.23.
. 3.24.
.
3.25.
. 3.26.
. 3.27.
.
3.28.
. 3.29.
. 3.30.
.
Задача 4. Исследовать на сходимость ряд.
4.1.
. 4.2.
. 4.3.
.
4.4.
. 4.5.
. 4.6.
.
4.7.
. 4.8.
. 4.9.
.
4.10.
. 4.11.
. 4.12.
.
4.13.
. 4.14.
. 4.15.
.
4.16.
. 4.17.
. 4.18.
.
4.19.
. 4.20.
. 4.21.
.
4.22.
. 4.23.
. 4.24.
.
4.25.
. 4.26.
. 4.27.
.
4.28.
. 4.29.
. 4.30.
.
Задача 5. Исследовать на сходимость ряд.
5.1.
. 5.2.
. 5.3.
.
5.4.
. 5.5.
. 5.6.
.
5.7.
.5.8.
. 5.9.
.
5.10.
. 5.11.
. 5.12.
.
5.13.
.5.14.
. 5.15.
.
5.16.
. 5.17.
. 5.18.
.
5.19.
. 5.20.
. 5.21.
.
5.22.
. 5.23.
. 5.24.
.
5.25.
.5.26.
. 5.27.
.
5.28.
.5.29.
. 5.30.
.
Задача 6. Исследовать на сходимость ряд.
6.1.
. 6.2.
. 6.3.
.
6.4.
. 6.5.
.
6.6.
.
6.7.
. 6.8.
. 6.9.
.
6.10.
. 6.11.
. 6.12.
.
6.13.
. 6.14.
. 6.15.
.
6.16.
.6.17.
. 6.18.
.
6.19.
. 6.20.
. 6.21.
.
6.22.
. 6.23.
. 6.24.
.
6.25.
. 6.26.
. 6.27.
.
6.28.
. 6.29.
. 6.30.
.
Задача 7. Найти область сходимости функционального ряда.
7.1.
. 7.2.
. 7.3.
.
7.4.
. 7.5.
. 7.6.
.
7.7.
. 7.8.
. 7.9.
.
7.10.
. 7.11.
. 7.12.
.
7.13.
. 7.14.
. 7.15.
.
7.16.
. 7.17.
. 7.18.
.
7.19.
. 7.20.
. 7.21.
.
7.22.
. 7.23.
. 7.24.
.
7.25.
. 7.26.
. 7.27.
.
7.28.
. 7.29.
. 7.30.
.
Задача 8. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням .
8.1.
. 8.2.
. 8.3.
.
8.4.
. 8.5.
. 8.6.
.
8.7.
. 8.8.
. 8.9.
.
8.10.
. 8.11.
. 8.12.
.
8.13.
. 8.14.
. 8.15.
.
8.16.
. 8.17.
. 8.18.
.
8.19.
. 8.20.
. 8.21.
.
8.22.
. 8.23.
. 8.24.
.
8.25.
. 8.26.
. 8.27.
.
8.28.
. 8.29.
. 8.30.
.
Задача 9. Вычислить интеграл с точностью до 0,001.
9.1.
. 9.2.
. 9.3.
.
9.4.
. 9.5.
. 9.6.
.
9.7.
. 9.8.
. 9.9.
.
9.10.
. 9.11.
. 9.12.
.
9.13.
. 9.14.
. 9.15.
.
9.16.
. 9.17.
. 9.18.
.
9.19.
. 9.20.
. 9.21.
.
9.22.
. 9.23.
. 9.24.
.
9.25.
. 9.26.
. 9.27.
.
9.28.
. 9.29.
. 9.30.
.