Числовые ряды Числовой ряд. Общий член ряда

Определение. Пусть дана бесконечная последовательность чисел , , ,..., то выражение вида

(1)

называется числовым рядом, числа , , ,...– членами (элементами) ряда, – общим членом ряда, если не зафиксировано.

Пример1. Дан ряд , где общий член . Найти . Заменяя в общем члене на , получим .

Сходящиеся и расходящиеся ряды

Сумма первых n членов ряда (1) называется ой частичной суммой и обозначается через . Следовательно, суммы

– 1-ая частичная сумма;

– 2-ая частичная сумма;

– 3-ая частичная сумма;

 – ……………………….

– ая частичная сумма;

... – ……………………….

образуют последовательность частичных сумм , , ..., , ...

Определение Ряд (1) называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности частичных сумм, то есть . При этом число называется суммой ряда. Если для данного ряда последовательность частичных сумм не имеет конечного предела при , то этот ряд называется расходящимся.

Пример2. Исследовать на сходимость ряд, составленный из членов геометрической прогрессии (геометрический ряд)

, .

Из элементарной математики известно, что сумма n членов геометрической прогрессии . Отсюда следует, что если , то геометрический ряд сходится и его сумма . Если же , то геометрический ряд расходится.

Пример3. Исследовать на сходимость ряд .Так как , то ая частичная сумма данного ряда

Эта сумма при имеет предел .

Итак, данный ряд сходится и его сумма равна единице.

Основные свойства сходящихся рядов

1. Если ряд сходится, то сходится и ряд, полученный отбрасыванием из него любого конечного числа членов.

2. Пусть даны ряды , и . Если оба ряда и сходятся, а их суммы соответственно равны и , то сходится и ряд , причем его сумма равна .

3. Если ряд сходится и имеет сумму , то сходится и ряд , причем его сумма равна числу , где .

4. Если ряд сходится, то сходится и любой ряд, полученный из него группировкой слагаемых, не изменяющей порядок расположения членов ряда, и суммы этих рядов одинаковы. К примеру, если сходится и его сумма равна , то ряд

также сходится, и его сумма равна .

Признаки сходимости числовых рядов

На практике часто не столь важно найти сумму ряда, как ответить на вопрос о сходимости ряда. Для этой цели используются признаки сходимости, основанные на свойствах общего члена ряда.

Необходимый признак сходимости ряда

Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю при , т.е. .

Кратко: если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю.

Отсюда вытекает достаточный признак расходимости ряда.

Если , то ряд расходится.

Пример 4. Исследовать на сходимость ряд

Для этого ряда общий член и .

Следовательно, данный ряд расходится.

Пример 5. Исследовать на сходимость ряд

Очевидно, что общий член этого ряда, вид которого не указан ввиду громоздкости выражения, стремится к нулю при , т.е. необходимый признак сходимости ряда выполняется, однако этот ряд расходится, так как его сумма стремится к бесконечности.