2.11. Уравнения электрического и механического равновесия. Эквивалентные схемы шагового

двигателя.

Многофазный шаговый двигатель, имеющий m обмоток управления, является системой с (m + 1)-й степенью свободы: m – электрических и одной механической.

, (2.66)

где K – номер фазы ШД; i_к, r_к – ток и сопротивление K-й фазы; U_к – приложенное к фазе напряжение; J – момент инерции ротора; M_н – общий момент нагрузки; M – электромагнитный момент; _к – потокосцепление обмоток.

Потокосцепление обмоток шагового двигателя без учета насыщения явялется линейными функциями токов i_j:

, (2.67)

где L_кj() – взаимная индуктивность К-й и j-й обмоток; является периодической функцией угла ; К = 1,2…m+1.

Электромагнитный момент двигателя с учетом (2.67) находится по формуле

. (2.68)

Подставляя в уравнения (2.65) выражения _к и M и считая i_m+1 = const, получаем

. (2.69)

Полученные нелинейные дифференциальные уравнения позволяют исследовать электромагнитные процессы и режимы работы ШД для любого способа управления. Однако решение этих уравнений не может быть найдено с учетом всех связей между переменными. Поэтому прибегают к упрощениям, благодаря которым решение возможно только с помощью ЦВМ.

В автоматических системах ШД заменяют эквивалентной структурной схемой, что вызвано трудностью получения простого аналитического выражения для описания переходной характеристики, общей для одного или нескольких шагов.

Эквивалентные схемы составляются из известных звеньев, исходя из характеристик ШД и особенностей его работы в системе.

При составлении эквивалентной схемы будем учитывать следующие особенности двигателя [2]:

1. в каждый момент ШД реагирует только на один управляющий импульс и делает при этом один шаг, равный _ш;

2. амплитуда управлящего импульса не влияет на величину шага;

3. шаговые импульсы подаются на схему управления с периодом T_п;

4. постоянная времени обмоток управления вносит запаздывание вследствие немгновенного нарастания тока.

В случае, если управление ШД осуществляется подачей полного номинального напряжения при постоянной частоте следования импульсов f_u, его структурная схема может быть представлена в виде (рис. 2.18).

Рис. 2.18. Структурная схема ШД

Из особенности ШД отрабатывать в каждый момент времени только один шаг, независимо от амплитуды входного импульса, если она превышает некоторую величину , следует, что эквивалентная схема должна содержать нелинейное звено 1-релейную характеристику с зоной нечувствительности . Ключ 2 отражает тот факт, что на ШД подается питание в виде импульсов постоянной частоты f_u = 1/Tп. Интегрирующее звено 3 отражает свойства ШД как формирующего элемента типа фиксатора уровня после каждого шага с передаточной функцией

. (2.70)

Особенность его в том, что запоминание осуществляется на неограниченно большой промежуток времени T₀.

Звено 4 с передаточной функцией

. (2.71)

отражает динамические свойства ШД при движении его ротора в пределах одного шага. Здесь  - постоянная времени запаздывания, определяемая индуктивностью и активным сопротивлением цепи обмоток статора, на которые подаются импульсы управляющего напряжения. Постоянная времени обусловлена инерционностью ротора и подвижных частей, связанных с ротором; постоянная времени определяется силами вязкого трения, где D – коэффициент демпфирования силами вязкого трения, p₁ – число пар полюсов; M_m – максимальный статический синхронизирующий момент двигателя.

Если возникает необходимость рассматривать ШД как элемент дискретной импульсной системы, то передаточную функцию линейной части можно представить выражением

, (2.72)

где Zt { } – операция присваивания с учетом относительного запаздывания ; Y(z,) – преобразованная выходная функция эквивалентной схемы; G(z) – преобразованная функция на выходе импульсного элемента.

При частоте следования управляющих импульсов f_u  50f, где f – частота квантования сигнала в системе, дискретность ШД можно не учитывать.

При частоте следования управляющих импульсов f_u  50f, где f – частота квантования сигнала в системе, дискретность ШД можно не учитывать.

3. УПРАВЛЯЕМЫЕ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ

НАПРЯЖЕНИЯ И ТОКА

3.1. Генераторы постоянного тока (ГПТ)

В системах АЭП ГПТ применяются в качестве управляемых преобразователей (УП) напряжения. В энергетическом отношении ГПТ – электромеханический преобразователь энергии, в котором механическая энергия, поступающая с вала приводного двигателя (АД или СД), преобразуется в электроэнергию постоянного тока.

Достоинства преобразовательного агрегата с ГПТ:

• линейность преобразования управляющего сигнала в выходную ЭДС в большом диапазоне его изменения;

• отсутствие искажений в напряжении питающей сети переменного тока от работы генератора;

• слабое влияние колебаний напряжения питающей сети на выходную ЭДС генератора;

• возможность работы с высоким и регулируемым коэффициентом мощности.

Недостатки:

• невысокий результирующий КПД (за счет потерь в генераторе и приводном электродвигателе);

• большие массогабаритные показатели (3 и более машин);

• значительные затраты на установку преобразовательного агрегата;

• шум при работе, существенная инерционность в канале управления.

Общие показатели для генераторов:

• для малой и средней мощности до 100-200 кВт отсутствует компенсационная обмотка;

• ГПТ мощностью более 2-3 кВт имеют дополнительные полюса, число которых равно числу главных полюсов;

• щетки генераторов устанавливаются на геометрической нейтрали;

• максимальная перегрузочная способность по току якоря для большинства генераторов равна 2 при продолжительности перегрузки до 3 с и 1,5 до 60 с.

Электрическая схема генераторов для общего случая возбуждения приведена на рис.3.1.

Рис.3.1. Электрическая схема ГПТ для общего случая возбуждения

Магнитный поток продольной по оси Ф_d создается МДС обмоток возбуждения независимой LG1, LG2 – параллельной (шунтовой), LG3 – последовательной (сериесной). Ф_q – магнитный поток по поперечной оси создается МДС якорной обмотки ГПТ (при наличии компенсационной обмотки LG4 ). Магнитный поток Ф_дп от дополнительных полюсов LG5, действует в зоне щеточных контактов, улучшая процесс коммутации.

Электрическое состояние генератора (рис. 3.2) характеризуется тремя внешними и одной внутренней координатами:

• напряжение или пропорциональные ему в статических режимах МДС и ток цепи обмотки независимого возбуждения – управляющее воздействие;

• ЭДС - ( ) – выходная величина;

• ток якорной цепи ( ) – возмущающее воздействие по нагрузке;

• результирующая МДС одного полюса (F) – внутренняя координата.

Строчными буквами обозначены мгновенные значения в динамических режимах, а прописными – установившиеся значения.

Рис.3.2. Блочно-функциональное представление ГПТ

Взаимосвязь между координатами определяется по формуле:

,

где – конструктивная постоянная машины; р – число пар полюсов; а – число пар параллельных ветвей якорной обмотки; N – число активных проводников; – угловая скорость генератора; Ф(F) – магнитный поток одного полюса в зазоре машины.

Без учета реакции якоря (при компенсационной обмотке LG4 или без LG4, но при малых нагрузках) результирующая МДС по продольной оси:

, (3.2)

где

где F₁,F₂,F₃ – МДС LG1, LG2, LG3; – число пар параллельных ветвей обмоток LG1, LG2, LG3; – сопротивления LG1, LG2; – сопротивление якоря генератора.

Знак «+» – если включение LG1,LG2,LG3 согласное, при встречном включении знак «-» .

Таким образом, ЭДС генератора оказывается однозначной функцией результирующей МДС по продольной оси F_d, слагаемые которой линейно зависят от внешних координат, что облегчает расчет статических характеристик генератора.

Зависимость является характеристикой управления генератора, которая может быть определена экспериментально, как характеристика холостого хода, при отключении якорной цепи и параллельной обмотки.

Характеристики управления относительно входной величины , при , а также внешние характеристики генератора могут быть построены графическим методом. На прямолинейном участке характеристики управления коэффициент передачи по МДС равен . Коэффициент передачи по току для любой из обмоток возбуждения

, (3.3)

коэффициент усиления по напряжению

. (3.4)

Динамические характеристики генератора определяются его уравнением возбуждения. При этом принимаются следующие основные допущения:

• потоки рассеяния по продольной оси отсутствуют;

• напряжение генератора не зависит от ЭДС самоиндукции якорной обмотки, т.е. ;

• трансформаторная ЭДС в коммутируемых секциях равна нулю.

Решая систему уравнений, описывающей динамический режим генератора относительно ЭДС и суммарной мгновенной МДС по продольной оси, получим уравнение:

, (3.5)

где

,

где С_в – конструктивный параметр цепи возбуждения, ; W_вг – число витков эквивалентного контура вихревых токов.

Характеристика ГПТ согласно этого уравнения имеет следующий вид (рис.3.3.).

Отсюда видно, если имеет полярность (+), то мы имеем процесс запуска (или намагничивания ГПТ), если , происходит процесс торможения (или размагничивания) генератора; если имеет (-), то происходит процесс реверса или перемагничивания генератора.

Для линеаризованного участка характеристики управления, где e_г = k_гдF_d, уравнение возбуждения генератора становится линейным:

(3.6)

или в другой форме записи

, (3.7)

где Т_г – электромагнитная постоянная времени генератора, с;

;

; ; ; ;

- коэффициент обратной связи по ЭДС; - коэффициент обратной связи по току якоря, Ом.

Этому уравнению соответствует структурная схема, приведенная на рис. 3.4. Таким образом, в динамических режимах генератор представляет собой инерционное звено в общем случае с обратными связями по ЭДС и току якоря.

Большое применение в эл. приводе находят генераторы значительной мощности, имеющие компенсационную обмотку и обладающие большим КПД и высоким . Самым распространенным является генератор с независимым возбуждением (рис. 3.5.)

Рис.3.3. Характеристика управления генератора

Рис.3.4. Структурная схема генератора

Рис.3.5. Эл. схема ГПТ с независимым возбуждением.

. (3.9)

При этом ( на линейном участке кривой намагничивания, определяют, пренебрегая гистерезисом).

; (3.10)

; .

Т_г – гл. магнитная постоянная времени тока

Тогда

(3.11)

подставляем в уравнение е_г ;

; (3.12)

. (3.13)

Окончательно получим

, (3.14)

передаточная функция

. (3.15)

Структурная схема на рис. 3.6.

Рис. 3.6. Структурная схема

Характеристики управления обладают высокой линейностью (рис. 3.7).

Рис. 3.7. Характеристики управления

Этой передаточной функции соответствуют амплитудная L(w) и фазовая j(w) логарифмические характеристики (рис. 3.8).

Рис. 3.8. ЛАЧХ и ЛФЧХ генератора

Форсирование переходных процессов. Для ГПТ с НВ (Р>100 кВт) постоянная времени значительно больше 1 с. Такая инерционность затягивает переходные процессы и значительно ограничивает его полосу пропускания. Для форсировки (убыстрения) переходных процессов применяют следующие два способа: уменьшение эквивалентного значения Т_г, повышение или уменьшение изменения ЭДС генератора за счет управления напряжением возбуждения.

Рис. 3.9. Схемы включения ГПТ с НВ к сети (а) и

управляемому возбудителю (б)

При первом способе ( включено постоянно) необходимо подводить повышенное значение с тем, чтобы в номинальном режиме выполнялось условие: , т.е. к обмотке возбуждения подводилось номинальное значение .

Второй способ заключается в том, что к обмотке возбуждения на время переходного процесса прикладывается повышенное напряжение, которое должно мгновенно, в конце процесса, уменьшено до требуемого установившегося значения. Это достигается введением с помощью контакта К₂ резистора (рис. 3.9, а) или снижением напряжения за счет отрицательной связи по напряжению генератора (рис.3.9, б штриховая линия). Такой способ форсировки называют форсировкой с отсечкой.

Степень форсировки переходных процессов характеризуется коэффициентом форсировки:

, (3.16)

где – начальное значение напряжения на обмотке возбуждения при , В;

_.– установившееся значение напряжения на обмотке возбуждения, В.

Для первого случая

; (3.17)

; (3.18)

, (3.19)

где – кратность разрядного сопротивления;

– сопротивление обмотки возбуждения.

Для схемы возбуждения с шунтируемым дополнительным резистором

; (3.20)

. (3.21)

Для схемы с управляемым возбудителем

, (3.22)

где U_н – напряжение насыщения управляемого возбудителя;

– коэффициент усиления возбудителя;

– коэффициент отрицательной связи по напряжению генератора

. (3.23)

С помощью можно подсчитать напряжение цепи возбуждения и управляемого возбудителя, а также сопротивление .

Графики переходных процессов для обоих случаев приведены на рис.3.10:

1 – с постоянно введенным сопротивлением;

2 – с форсировкой.

Как видно из графиков форсировка с отсечкой более эффективна, т.к. повышенное напряжение возбуждения остается неизменным.

Определим , когда надо снять форсировку, т.е. :

; ;

; . (2.24)

Рис.3.10. Графики переходных процессов

В электроприводе имеют место задачи, где требуется не форсирование процесса, а, напротив, дефорсирование в целях ограничения ускорения и поддержание его постоянным. В этих случаях инерционность генератора оказывается полезной. Однако при апериодическом характере переходного процесса в соответствии с передаточной функцией темп изменения ЭДС генератора, ограниченный инерционностью в начальный момент, не сохраняется постоянным, а непрерывно уменьшается. Обеспечить ограничение и постоянство темпа изменения ЭДС можно с помощью схемы с критическим самовозбуждением генератора (рис. 3.11).

Условием критического самовозбуждения является равенство сопротивления цепи самовозбуждения передаточному коэффициенту по току данной обмотки, т.е.

. (3.25)

Полученное значение сопротивления называется критическим. Так как , то можно записать

. (3.26)

Это означает, что при критическом самовозбуждении коэффициент усиления генератора относительно обмотки самовозбуждения должен быть равен 1. Данное условие имеет также и графическую интерпретацию: равенство углового коэффициента прямой МДС самовозбуждения величине означает параллельность характеристики управления генератора и прямой суммарной МДС в осях , F_d.

Рис. 3.11. Схемы включения обмоток возбуждения генератора с

критическим самовозбуждением с двумя (а) и с одной (б) обмотками

Для варианта схемы возбуждения с двумя обмотками (ОВ1 и ОВ2) (рис. 3.11,а)

; (3.27)

, (3.28)

где - сопротивление параллельной обмотки, Ом;

- дополнительное сопротивление в цепи параллельной обмотки, Ом.

Для варианта с одной, но разделенной на две равные части обмоткой возбуждения (рис.3.11,б)

; (3.29)

, (3.30)

где - сопротивление резистора, дополнительно включаемого последовательно с симметричной мостовой цепью самовозбуждения, Ом.

Цепь самовозбуждения выполняет функцию положительной обратной связи по ЭДС, ее МДС F_св действует согласно с МДС независимой обмотки F_в1 и при линейной характеристике генератора

. (3.31)

Подставляя условие (3.26) в данное, получаем, что . Таким образом, любое значение ЭДС обеспечивается самим генератором без постороннего источника возбуждения, т.е. статическая мощность источника независимого возбуждения равна нулю. Однако с учетом нелинейности характеристики управления генератора и для обеспечения номинального возбуждения потребуется тем большее значение , чем сильнее насыщен генератор в этом режиме.

Данный способ возбуждения позволяет существенно снизить мощность управления генератором:

Для схемы с двумя обмотками возбуждения (см. рис. 3.11,а)

. (3.32)

Для схемы с одной разделенной обмоткой возбуждения (см. рис. 3.11,б)

, (3.33)

где – относительное значение МДС независимого возбуждения;

_. – номинальные значения напряжения и тока возбуждения в схеме независимого возбуждения.

Динамические режимы генератора с критическим самовозбуждением в пределах прямолинейного участка его характеристики управления будут определяться общим уравнением возбуждения

, (3.34)

где , для схемы с двумя обмотками возбуждения (рис. 3.11,а); , для схемы с одной разделенной обмоткой возбуждения (рис. 3.11,б).

Генератор с критическим самовозбуждением представляет собой в динамике интегральное звено с передаточной функцией

(3.35)

Темп интегрирования при неизменных параметрах k_г и T_г определяется значением выходного напряжения управляемого возбудителя U_в1.

Для получения устойчивого установившегося режима работы генератора на прямолинейном участке характеристики управления на вход возбудителя вводится напряжение отрицательной обратной связи. При этом уравнение (3.34) дополнено уравнением для управляемого возбудителя, и совместное их решение даст выражение

. (3.36)

Данному уравнению соответствует структурная схема, приведенная на рис.3.12. Отрицательная обратная связь оказывается блокированной, когда управляемый возбудитель работает на участке насыщения и генератор, являясь интегратором, имеет максимально допустимый темп изменения ЭДС. При работе возбудителя на усилительном участке характеристики управления отрицательная связь переводит генератор в режим работы апериодического звена с передаточной функцией:

, (3.37)

где

.

Рис. 3.12. Структурная схема генератора с критическим

самовозбуждением и отрицательной обратной связью

по напряжению

При высоком коэффициенте усиления возбудителя постоянная мала, и генератор по свойствам приближается к безыинерционному звену для частот .