Билет 19 поверхностный интеграл.

Пусть в каждой точке гладкой ориентированной простой поверхности σ определена векторная функция:

(M) = P(M) + Q(M) + R(M) с непрерывными проекциями P, Q, R.

Разобьём поверхность σ произвольным образом на элементарные части ∆σ_1, ∆σ₂,…∆σ_n с диаметрами: d_1, d₂, …d_n. Наибольший из диаметров обозначим через d_M. На каждом элементе возьмем произвольную точку M_K и составим интегральные суммы вида: (1)

₀(M_k)-единичный вектор нормали к поверхности в точке М_k.

Обозначим через α_k, β_k и γ_k углы, образуемые вектором ₀(M_k) с осями координат (направляющие углы). Тогда:

₀(M_k) = cos α_k + cos β_k + cos γ_k и

( (M_k), ₀ (M_k)) =

=P(M_k) cos α_k + Q(M_k) cos β_k + R(M_k) cos γ_k

Интегральная сумма (1) распадается на три однотипные суммы:

J_n = [P(M_k) cos α_k +Q(M_k) cos β_k +R(M_k) cos γ_k ]∆σ_{K =}

= J_n^I + J_n^II + J_n^III . (2)

Если существует предел интегральных сумм (1) при d_M→0, не зависящий ни от способа разбиения поверхности на части, ни от выбора промежуточных точек М_К, то он называется поверхностным интегралом второго рода от векторной функции = {P, Q, R,} по выбранной стороне поверхности.

Обозначается:

( (M_k), (M_k))∆σ_k =

= ( (M_K), (M_K))∆σ_K (3)

или [P(х_k, y_k, z_k) cos α_k + Q(х_k, y_k, z_k ) cos β_k +

+ R(х_k, y_k, z_k ) cos γ_k] = [P(х_k, y_k, z_k) cos α_k +

+ Q(х_k, y_k, z_k ) cos β_k + R(х_k, y_k, z_k ) cos γ_k] dσ (4)

Свойства поверхностных интегралов:

1. Из определения поверхностного интеграла следует, что если изменить ориентацию поверхности, то ⁺ заменится на ^-, а т.к. ⁺ = - , то и поверхностный интеграл изменит знак на противоположный;

( _, ⁺)dσ = - ( _, )dσ

2. Если поверхность σ разбить на части σ₁ и σ₁, то:

( _, )dσ = ( _, )dσ + ( _, )dσ

Остальные свойства поверхностных интегралов также совершенно аналогичны свойствам всех интегралов.

Замечание 1: Поверхность σ может быть замкнутой. В этом случае, обычно выбирают внешнее направление нормали, а интеграл обозначается;

( _, )dσ

Замечание 2: Так как cosγ dσ = dxdy, cosβ dσ = dxdz, cosγdσ = dydz – проекции элемента поверхности на соответствующие координатные плоскости, то (4) можно записать в виде:

( (M), (M))dσ = (Pdydz + Qdxdz + Rdxdy) (5)

(проекции положительны, если углы α, β, γ – острые, если они тупые, то проекции отрицательны).

Поверхностный интеграл (4) или (5) можно рассматривать как сумму трёх соответствующих простых интегралов от функций P, Q, R:

[Pcosα + Qcosβ + Rcosγ]dσ =

= Pcosαdσ + Qcosβdσ + Rcosγdσ (6)

Обозначим: Pcosαdσ = J₁, Qcosβdσ = J₂,

Rcosγdσ = J₃

Каждый из интегралов в правой части является пределом своей

частной интегральной суммы в (2).

Пусть, например, поверхность σ такая, что каждая прямая параллельная оси Oz пересекает ее только в одной точке. Тогда её уравнение можно записать в виде: z = ƒ(x,y), где (x,y)  D₁, а D₁, – проекция поверхности σ на плоскости Oxy. Тогда:

J₃ = R(x, y, z)cosγdσ =

= R(x_k,y_k,z_k) cosγ_kΔσ_k

= R(x_k,y_k,z_k)Δ S_xy^(k) =

= ± R[x_k,y_k, ƒ(x_k,y_k )]| S_xy^(k)) | ;

Так как z_k = ƒ(x_k,y_k ) и Δ S_xy^(k)=cosγ_k Δσ_k

Знак (-) берут тогда, когда угол γ_k тупой (cosγ_k<0)( нормаль к поверхности с осью Оz образует тупой угол), а знак (+) когда этот угол острый (cosγ_k>0).

d_M - максимальный диаметр частичных областей ∆σ₁, ∆σ₂…∆σ_n поверхности σ, а d'_M - максимальный диаметр частичных областей с площадями ΔS₁, ΔS₂,…ΔS_n области D₁ на плоскости Оху. Если d'_M→0, то и d_M→0 (поверхность гладкая).

Полученная сумма является интегральной для двойного интеграла от функции двух переменных R[x,y, ƒ(x,y )]по области D_1. Таким образом,

Поверхностный интеграл выражен через двойной. Для вычисления интеграла J₂ надо уравнение поверхности σ разрешить относительно y: y = φ(х, z), а поверхность σ проектировать на плоскость Охz (обл D₂):

А для вычисления интеграла J₃ уравнение поверхности представляем в виде x = ψ(y, z), а поверхность проектируем на плоскость Oyz (обл. D₃):

Знаки (+) берут если углы β и α острые, если тупые то берут (-).

Замечание1: интеграл (6) можно свести к двойному, выразив направляющие косинусы и dσ с помощью уравнения поверхности.

Замечание 2. Если поверхность σ не является простой или гладкой, то её разбивают на участки, являющиеся простыми и гладкими.