11. Уравнения диффузии и теплопроводности. Одномерный случай

В случае одномерного диффузионного процесса с коэффициентом диффузии (теплопроводности)   уравнение имеет вид:

При постоянном   приобретает вид:

где   — концентрация диффундирующего вещества, a   — функция, описывающая источники вещества (тепла).

[Править]Трёхмерный случай

В трёхмерном случае уравнение приобретает вид:

где   — оператор набла, а   — скалярное произведение. Оно также может быть записано как

а при постоянном   приобретает вид:

где   — оператор Лапласа.

[Править]n-мерный случай

-мерный случай — прямое обобщение приведенного выше, только под оператором набла, градиентом и дивергенцией, а также под оператором Лапласа надо понимать  -мерные версии соответствующих операторов:

Это касается и двумерного случая  .

12. Среднее число столкновений и средняя длина свободного пробега молекул газа.

Среднее число столкновений и средняя длина свободного пробега молекул

Молекулы газа, находясь в состоянии хао­тического движения, непрерывно сталки­ваются друг с другом. Между двумя по­следовательными столкновениями молеку­лы проходят некоторый путь l, который называется длиной свободного пробега. В общем случае длина пути между по­следовательными столкновениями различ­на, но так как мы имеем дело с огромным числом молекул и они находятся в бес­порядочном движении, то можно говорить о средней длине свободного пробега моле­кул <l>.

Минимальное расстояние, на которое сближаются при столкновении центры двух молекул, называется эффективным диаметром молекулы d (рис.68). Он за­висит от скорости сталкивающихся моле­кул, т. е. от температуры газа (несколько уменьшается с ростом температуры).

Так как за 1 с молекула проходит в среднем путь, равный средней арифметической скорости <v>, и если (z) —сред­нее число столкновений, испытываемых одной молекулой газа за 1 с, то средняя длина свободного пробега

<l>=<v>/<z>.

Для определения <z> представим себе молекулу в виде шарика диаметром d, которая движется среди других «застыв­ших» молекул. Эта молекула столкнется только с теми молекулами, центры кото­рых находятся на расстояниях, рав­ных или меньших d, т. е. лежат внутри «ломаного» цилиндра радиусом d (рис. 69).

Среднее число столкновений за 1 с равно числу молекул в объеме «ломано­го» цилиндра:

<z>=nV,

где n — концентрация молекул, V = = pd²<v> (<v> —средняя скорость мо­лекулы или путь, пройденный ею за 1с). Таким образом, среднее число столкновений

<z>=npd²<v>.

Расчеты показывают, что при учете дви­жения других молекул

Тогда средняя длина свободного про­бега

т.е. (l) обратно пропорциональна кон­центрации n молекул. С другой стороны, из (42.6) следует, что при постоянной температуре n пропорциональна давлению р.

13. Молекулярно-кинетическая теория явлений переноса

(1). Плоская электромагнитная волна и ее свойства. Энергия и импульс плоской электромагнитной волны. 

Существование электромагнитных волн было предсказано Дж. Максвеллом в1862-1864 г.г Проанализируем бескрайнее трехмерное пространство с декартовой системой координат х, у, z. У которого в каждой точке задана некоторая величина А (её физическая природа безразлична), меняющаяся в пространстве и во времени по закону А = Ao*cos(w*t+-Бетта*z). для волны, распространяющейся в положительном направлении, будем иметь: A+ = Ao*e^-интеграл(бетта*z). в противоположную сторону: A- = Ao*e^+интеграл(бетта*z) Свойства: 1) Поперечность. в плоской электромагнитной волне вектор напряженности электрического поля E, вектор напряженности магнитного поля H и волновой вектор k взаимно перпендикулярны и образуют правовинтовую систему. 2) Синфазность. векторы имеют одинаковые фазы и изменяются синхронно 3) Фазовая скорость - скорость распространения одинаковой фазы. V = (c)/(sqr(эпсиланд * Мю)) 4) Поляризация. Уравнения Максвелла допускают, в частности, такое решение, когда каждый из векторов E и H совершает колебания только вдоль одной из взаимно перпендикулярных осей. Тогда говорят, что волна имеет линейную, или плоскую поляризацию. Плоскость, в которой лежит вектор напряженности электрического поля волны E и волновой вектоор k , называют плоскостью поляризации или плоскостью колебаний. Средняя величина энергии плоской поляризованной волны <W> = eeoA2/2 Дж/см3.

Энергия волны Ев, протекающая через поверхность S , перпендикулярную распространению волны, за время t , равна Ев = <W>cSt. Величину I =<W>c называют интенсивностью. плоская электромагнитная волна с плотностью энергии w имеет импульс Kед в единице объёма, переносимый плоской электромагнитной волной за единицу времени, определяемый по формуле: Kед=w/c.

(2). Естественный и поляризованный свет. Двойное лучепреломление. Закон Малюса.

Естественный свет - это свет, в котором колебания вектора напряженности Е электрического поля происходят по всевозможным направлениям в плоскости, перпендикулярной направлению распространения (к лучу). Плоскополяризованный свет - это свет, в котором колебания вектора Е происходят только в одном направлении, перпендикулярном лучу. Частично поляризованный свет - это свет, в котором колебания в каком-либо направлении ослаблены. Двойное лучепреломление — эффект расщепления в анизотропных средах луча света на две составляющие. Впервые обнаружен на кристалле исландского шпата. Если луч света падает перпендикулярно к поверхности кристалла, то на этой поверхности он расщепляется на два луча. Первый луч продолжает распространяться прямо, и называется обыкновенным (o — ordinary), второй же отклоняется в сторону, нарушая обычный закон преломления света, и называется необыкновенным (e — extraordinary). Закон Малюса — физический закон, выражающий зависимость интенсивности линейно-поляризованного света после его прохождения через поляризатор от угла фи между плоскостями поляризации падающего света и поляризатора. I = Ka*Io*cos^2фи

Состав и свойство ядер: Атомное ядро — центральная часть атома, в которой сосредоточена основная его масса (более 99,9 %). Ядро заряжено положительно, заряд ядра определяет химический элемент, к которому относят атом. Размеры ядер различных атомов составляют несколько фемтометров, что в более чем в 10 тысяч раз меньше размеров самого атома.

Атомное ядро состоит из нуклонов — положительно заряженных протонов и нейтральных нейтронов, которые связаны между собой при помощи сильного взаимодействия. Протон и нейтрон обладают собственным моментом количества движения (спином), и связанным с ним магнитным моментом. Число протонов в ядре (Z) определяет непосредственно его электрический заряд, у изотопов одинаковое количество протонов, но разное количество нейтронов. Ядерные свойства изотопов элемента в отличие от химических, могут различаться чрезвычайно резко.

Ядерные взаимодействия:

Ядерная реакция — процесс превращения атомных ядер, происходящий при их взаимодействии с элементарными частицами, гамма-квантами и друг с другом.

Лишь небольшая часть нуклидов являются стабильными. В большинстве случаев ядерные силы оказываются неспособны обеспечить их постоянную целостность, и ядра рано или поздно распадаются. Это явление получило название радиоактивности.

Ядерные силы — это силы, удерживающие нуклоны в ядре, представляющие собой большие силы притяжения, действующие только на малых расстояниях. Они обладают свойствами насыщения, в связи с чем ядерным силам приписывается обменный характер (с помощью пи-мезонов). Ядерные силы зависят от спина, не зависят от электрического заряда и не являются центральными силами.

Масса и энергия связи в ядре:

Из-за разницы в числе нейтронов изотопы элемента имеют разную массу (M), которая является важной характеристикой ядра. В ядерной физике массу ядер принято измерять в атомных единицах массы (а. е. м.), за одну а. е. м. принимают 1/12 часть массы нуклида. Для определения массы ядра нужно из массы атома вычесть сумму масс всех электронов (более точное значение получится, если учесть еще и энергию связи электронов с ядром). Кроме того, в ядерной физике часто используется энергетический эквивалент массы. Согласно соотношению Эйнштейна, каждому значению массы (M) соответствует полная энергия:

E = Mc^2, где c — скорость света в вакууме.

Большая энергия связи нуклонов, входящих в ядро, говорит о существовании ядерных сил, поскольку известные гравитационные силы слишком малы, чтобы преодолеть взаимное электростатическое отталкивание протонов в ядре. Связь нуклонов осуществляется чрезвычайно короткоживущими силами, которые возникают вследствие непрерывного обмена частицами, называемыми пи-мезонами, между нуклонами в ядре.

Экспериментально было обнаружено, что для всех стабильных ядер масса ядра меньше суммы масс составляющих его нуклонов, взятых по отдельности. Эта разница называется дефектом массы или избытком массы

Другим важным параметром ядра является энергия связи, приходящаяся на один нуклон ядра, которую можно вычислить, разделив энергию связи ядра на число содержащихся в нём нуклонов:

Эта величина представляет собой среднюю энергию, которую нужно затратить, чтобы удалить один нуклон из ядра, или среднее изменение энергии связи ядра, когда свободный протон или нейтрон поглощается в нём.

Статистический смысл энтропии

Посмотрим на энтропию с другой стороны.        Макросостояние – это состояние вещества, характеризуемое его термодинамическими параметрами.        Состояние же системы, характеризуемое состоянием каждой входящей в систему молекулы, называют микросостоянием.        Так как молекулы движутся хаотически, то имеется много микросостояний, соответствующих одному макросостоянию. Обозначим W - число микросостояний, соответствующее данному макросостоянию (как правило, W >> 1).        Термодинамической вероятностью или статистическим весом макросостояния W - называется число микросостояний, осуществляющих данное макросостояние (или число перестановок одноименных элементов, при которых сохраняется данное макросостояние).        Термодинамическая вероятность W - максимальна, когда система находится в равновесном состоянии.        В состоянии равновесия и термодинамическая вероятность максимальна, и энтропия максимальна. Из этого можно сделать вывод, что между ними существует связь.        Энтропия S – аддитивная величина:  , где   - сумма энтропий тел, входящих в систему.        Вероятность сложного события, есть произведение вероятностей состояний:   ,     где W1 – первое состояние; W2 – второе состояние.        Аддитивной величиной является логарифм термодинамической вероятности:   .              Поэтому Л. Больцман предложил:   ,   где k – коэффициент Больцмана. С этой точки зрения энтропия выступает, как мера беспорядочности, хаотичности состояния.        Например, в ящике черные и белые шары. Они порознь, есть порядок и W невелика. После встряхивания – шары перемещаются, W увеличивается и энтропия тоже. И сколько бы не встряхивать потом ящик, никогда черные шары не соберутся у одной стенки, а белые у другой, хотя эта вероятность не равна нулю.        Связь между S и W позволяет несколько иначе сформулировать второе начало термодинамики: наиболее вероятным изменением энтропии является ее возрастание.        Энтропия – вероятностная статистическая величина. Утверждение о возрастании энтропии потеряло свою категоричность. Её увеличение вероятно, но не исключаются флуктуации.        На основе этих рассуждений Р. Клаузиус в 1867 г. и выдвинул гипотезу о тепловой смерти Вселенной (о ней сказано ранее).        Л. Больцман один из первых опроверг эту гипотезу и показал, что закон возрастания энтропии – статистический закон, т.е. возможны отклонения.        Российские физики Я.Б. Зельдович и И.Д. Новиков так же опровергли эту теорию и показали, что Р. Клаузиус не учел, что Вселенная не стационарна и в будущем не перейдет к одному состоянию, так как она эволюционирует, не остается статичной.        Энтропия замкнутой системы – максимальна, при достижении системой равновесного состояния.