Протокол ig

Пусть изоморфизм междуG₁иG₀. Следующие четыре шага выполняются в циклеm раз, каждый раз с независимыми случайными величинами.

1. Рвыбирает случайную перестановкуна множествеU, вычисляетН=-тG₁ и посылает этот графV.

2. Vвыбирает случайный бит и посылает егоР.

3. Если =1, тоРпосылаетVперестановку, в противном случае - перестановку_.

4. Если перестановка, полученная V, не является изоморфизмом междуG_иН, тоV останавливается и отвергает доказательство. В противном случае выполнение протокола продолжается.

Если проверки п.4 дали положительный результат во всех m циклах, тоVпринимает доказательство.

Необходимо отметить, что если в протоколе IGмашинаРполучает изоморфизм в качестве дополнительного входного слова, то ей для выполнения протокола не требуются неограниченные вычислительные ресурсы. Более того, в этом случаеРможет быть полиномиальной вероятностной шиной Тьюринга.

Теорема 4.1. Протокол IG является доказательством с абсолютно нулевым разглашением для языка «Изоморфизм графов».

Доказательство.Подробно приведено в работе [Ва1].

Чекер для задачи «Изоморфизм графа»

Пусть GиH– два графа иk– некоторый параметр безопасности. ЧекерC_GI^P(G,H,k) проверяет программуPна входных графахGиH. На выходе чекера будет результат «Норма», если графы изоморфны и «Сбой», если неизоморфны.

Следующая теорема [BK] определяет эффективность и корректность чекера для решения задачи «ИЗОМОРФИЗМ ГРАФОВ» -IG.

Пусть P– программа, которая останавливается на всех входах и всегда выдает либо «Норма», либо «Сбой». Пусть такжеGиH- два любых графа и пустьC_GI^P(G,H;k) – вышеуказанный чекер.

Теорема 4.2.ЕслиPкорректная программа для решения задачиIG, тогда чекерC_GI^P(G,H;k) всегда выдаст на выходе «Норма». ЕслиP- некорректна, т.е.P(G,H)GI(G,H), тогда вероятностьProb{C_GI^P(G,H;k)=«Норма»}<1/2^k.

Доказательство.Достаточно очевидно и приведено в работе [BK].

Интерактивные системы доказательств и интерактивные системы доказательств с нулевым разглашением [Ва1,Ва2] могут эффективно применяться в системах защиты информации от несанкционированного доступа, например, в схемах интерактивной идентификации пользователей системы [Ка14,КУ4,КУ6]. В целом интерактивный протокол доказательств для задачи IGможет применяться для идентификации, однако для практических целей удобно использовать системы доказательств, основанные на трудности решения некоторых теоретико-числовых задач. Тем более, как было показано выше, существует принципиальная возможность построения самотестирующейся/ самокорректирующейся программной пары, например, для функции дискретного экспоненцирования.

Чекер cgip(g,h,k)

1. Вычислить P(G,H).

2. Если P(G,H)=«Изоморфизм», тогда использоватьPдля поиска изоморфизма ихGвH. Проверить, является ли результирующее соответствие изоморфизмом. Если нет, тогда подать на выход «Сбой», если является, тогда подать на выход «Норма».

3. Если P(G,H)=«Не изоморфизм», тогда выполнить следующие шагиkраз.

3.1. Выработать случайный бит b.

3.2. Если b=1, тогда

3.2.1. Сгенерировать случайную перестановку GграфаG.

3.2.2. Вычислить P(G,G).

3.2.3. Если P(G,G)=«Не изоморфизм», тогда подать на выход «Сбой».

3.3. Если b=0, тогда

3.3.1. Сгенерировать случайную перестановку HграфаH.

3.3.2 Вычислить P(G,H).

3.4. Если P(G,H)=«Изоморфизм», тогда подать на выход «Сбой».

4. Подать на выход «Норма».