40.6. Сведение матричной игры к задаче линейного программирования
Если матричную
-игру
нельзя свести к игре
или
,
то ее сводят к паре двойственных задач
линейного программирования. Пусть
платежная матрица первого игрока в игре
двух игроков, имеющих соответственно
и
стратегий, имеет вид
;
игра не имеет решения в чистых стратегиях;
упрощением платежной матрицы
-игру
нельзя свести к игре
или
.
Построим пару двойственных задач
линейного программирования для
-игры.
Алгоритм перехода к паре задач линейного программирования
1) Ввести управляющие переменные ЗЛП:
для первого игрока – компоненты вектора
,
удовлетворяющие условиям
и
;
для второго – компоненты вектора
,
удовлетворяющие условиям
и
.
2) Целевой функцией для пары задач
является цена игры
.
Для первого игрока она примет вид
,
для второго –
.
3) Указать направление оптимизации
целевой функции для каждого из игроков.
Для первого игрока цель игры заключается
в максимизации выигрыша, то есть в
нахождении такой смешанной стратегии
,
которая максимизировала бы цену игры
первого игрока при любых действиях
второго игрока. Поэтому направление
оптимизации целевой функции первого
игрока
.
Для второго игрока цель игры заключается
в минимизации проигрыша, то есть в
нахождении такой смешанной стратегии
,
которая минимизировала бы цену игры
второго игрока при любых действиях
первого игрока. Поэтому направление
оптимизации целевой функции
.
4) Составить ресурсные ограничения для
ЗЛП каждого из игроков. Ресурсные
ограничения для ЗЛП первого игрока
имеют вид
(
),
так как согласно теореме 3 применение
первым игроком оптимальной стратегии
дает выигрыш, не меньший цены игры.
Аналогично согласно теореме 3 применение
вторым игроком оптимальной стратегии
гарантирует проигрыш, не больший цены
игры, следовательно, ресурсные ограничения
для ЗЛП второго игрока имеют вид
(
).
5) Составить задачи линейного программирования первого и второго игроков:
6) Исключить из
целевых функций обоих игроков величины
и 
,
которые меняются в зависимости от
поведения игроков (так как меняются
векторы
и
).
Для этого, предполагая, что
,
разделить все соотношения систем
ограничений обеих ЗЛП на
:
Выполнить замену переменных:
(
),
(
).
Так как
и
,
то
и
.
Обозначить
,
,
тогда ЗЛП игроков примут вид
Достаточно решить одну из задач (более удобную), а затем найти решение второй задачи с помощью теорем двойственности (см. тему 31).
Решение исходной задачи (
-игры)
находят с помощью обратной замены
переменных (
и
– решения пары прямой и двойственной
ЗЛП):
или
,
(
),
(
).
Замечание. Если в исходной
-игре
,
то данную игру преобразовывают, в
соответствии с теоремой 4, в игру с
платежной матрицей
,
где
.
Такое преобразование позволит получить
цену преобразованной игры
.
Если в исходной
-игре
,
то при делении на
следует менять знак в неравенствах-ограничениях
на противоположный.