40.5. Графический метод решения матричных игр, не имеющих решения в чистых стратегиях

Для построения решений игр, в которых число стратегий хотя бы одного из игроков равно двум, существует достаточно эффективный графический метод. Будем предполагать, что в рассматриваемых играх нет седловой точки в чистых стратегиях.

Определение 35. Матричную игру, в которой число стратегий первого игрока равно двум, а число стратегий второго игрока равно , называют -игрой.

Платежная матрица первого игрока -игры имеет вид

.

Определение 36. Ломаную линию, состоящую из отрезков семейства прямых ( ) и расположенную не выше каждой прямой семейства, называют нижней огибающей семейства прямых ( ).

Определение 37. Ломаную линию, состоящую из отрезков семейства прямых ( ) и расположенную не ниже каждой прямой семейства, называют верхней огибающей семейства прямых ( ).

Замечание. Нижнюю и верхнюю огибающие семейства прямых будем обозначать соответственно , .

Определение 38. Матричную игру, в которой число стратегий первого игрока равно , а число стратегий второго игрока равно двум, называют -игрой.

Платежная матрица -игры имеет вид .

Определение 39. Матричную игру, заданную платежной матрицей размерности называют -игрой.

Замечание. Если матричную игру можно свести к игре или , то ее всегда можно решить графическим методом.

Обозначим – вероятность применения первым игроком стратегии , ; – вероятность применения вторым игроком стратегии , , , .

Алгоритм графического решения -игры

1) Проверить, что игра не имеет решения в чистых стратегиях.

2) Исключить невыгодные стратегии второго игрока, упростить платежную матрицу.

3) На отрезке построить семейство прямых ( ), уравнения которых составлены с использованием столбцов упрощенной платежной матрицы и условия нормировки .

4) Построить нижнюю огибающую , выделить ее высшую точку и стратегии второго игрока, прямые которых проходят через точку .

5) Найти оптимальные стратегии игроков. В зависимости от формы нижней огибающей может представиться несколько случаев.

Первый случай. Нижняя огибающая имеет ровно одну наивысшую точку , , в точке пересекаются ровно две прямые (например, с номерами и ), соответствующие чистым стратегиям и второго игрока (рис. 40.1, а)). Для отыскания оптимальной смешанной стратегии первого игрока необходимо выполнить следующие действия:

а) найти координаты точки как решение системы уравнений, соответствующих чистым стратегиям и второго игрока:

б) найти оптимальную смешанную стратегию первого игрока , в которой .

Для отыскания оптимальной смешанной стратегии второго игрока необходимо выполнить следующие действия:

а) в платежной матрице оставить только столбцы, соответствующие стратегиям и второго игрока: ;

б) с использованием строк матрицы составить систему уравнений

в) найти решение и полученной системы уравнений;

г) составить оптимальную смешанную стратегию второго игрока, полагая вероятности исключенных стратегий второго игрока равными нулю: .

Второй случай. Нижняя огибающая имеет ровно одну наивысшую точку , , в точке пересекается более двух прямых, соответствующих чистым стратегиям второго игрока. Для отыскания оптимальной смешанной стратегии следует выбрать прямые, входящие в нижнюю огибающую (рис. 40.1, б)), а затем провести вычисления, аналогичные первому случаю.

Третий случай. Нижняя огибающая имеет ровно одну наивысшую точку , . Тогда оптимальной стратегией первого игрока является чистая стратегия , . В качестве оптимальной стратегии второго игрока следует выбрать чистую стратегию , соответствующую прямой с наименьшим положительным наклоном, проходящей через точку (рис. 40.1, в)). Далее следует составить оптимальную смешанную стратегию второго игрока, полагая , а вероятности остальных стратегий – равными нулю.

Четвертый случай. Нижняя огибающая имеет ровно одну наивысшую точку и . Тогда оптимальной стратегией первого игрока является чистая стратегия , . В качестве оптимальной стратегии второго игрока следует выбрать чистую стратегию , соответствующую прямой с наибольшим отрицательным наклоном, проходящей через точку (рис. 40.1, г)). Далее следует составить оптимальную смешанную стратегию второго игрока, полагая , а остальные вероятности равными нулю.

Пятый случай. Нижняя огибающая имеет горизонтальный участок, соответствующий чистой стратегии второго игрока (рис. 40.1, д)). Тогда первый игрок имеет бесконечно много оптимальных смешанных стратегий. Вероятность применения первым игроком стратегии может изменяться от до ( и  – абсциссы точек пересечения прямой, соответствующей чистой стратегии , с другими прямыми, образующими нижнюю огибающую). Вероятность применения первым игроком стратегии может изменяться от до  . Оптимальной стратегией второго игрока является чистая стратегия , , вероятности остальных стратегий равны нулю.

Рис. 40.1

6) Найти цену игры . Записать ответ.

Замечание. Выражение характеризует ожидаемый средний выигрыш первого игрока при применении вторым игроком чистой стратегии ( ).

Графическое решение -игры во многом аналогично графическому решению -игры, но проходит в другой последовательности.

Алгоритм графического решения -игры

1) Проверить, что игра не имеет решения в чистых стратегиях.

2) Исключить невыгодные стратегии первого игрока, упростить платежную матрицу.

3) На отрезке построить семейство прямых ( ), уравнения которых составлены с использованием строк упрощенной платежной матрицы и условия нормировки .

4) Построить верхнюю огибающую , выделить ее низшую точку и стратегии второго игрока, прямые которых проходят через точку .

5) В платежной матрице оставить только строки, соответствующие стратегиям и первого игрока: .

6) Найти оптимальные стратегии игроков с использованием верхней огибающей. В зависимости от формы верхней огибающей также может представиться несколько случаев, вычисления в которых проводят аналогично.

7) Найти цену игры по формуле теоремы 3: . Записать ответ.

Пример 40.7. Найти решение -игры, заданной платежной матрицей

.

Решение. 1) Найдем верхнюю и нижнюю цены игры:

, .

Так как , то решения игры в чистых стратегиях нет.

Обозначим – вероятность применения первым игроком стратегии , ; – вероятность применения вторым игроком стратегии , . Условия нормировки: , .

2) Упростим платежную матрицу. Заметим, что элементы первого столбца не меньше соответствующих элементов второго столбца. Следовательно, стратегия является доминирующей над стратегией . Других доминирующих стратегий в матрице нет. Исключим стратегию , тогда . Матрица примет вид .

3) По столбцам платежной матрицы с учетом условия нормировки составим уравнения семейства прямых ( ), соответствующих чистым стратегиям второго игрока.

Стратегии второго игрока	Ожидаемый средний выигрыш первого игрока	Уравнение прямой

Построим полученные прямые на отрезке (рис. 40.2).

4) Выделим нижнюю огибающую. Из рис. 40.2 видно, что наивысшая точка нижней огибающей лежит внутри интервала и является точкой пересечения прямых и , которые соответствуют стратегиям и второго игрока.

5) Так как нижняя огибающая имеет одну наивысшую точку внутри интервала , через которую проходят ровно две прямые, соответствующие стратегиям и , то имеет место первый случай. Найдем оптимальную смешанную стратегию первого игрока:

Рис. 40.2

а) найдем точку пересечения прямых и :

таким образом, ;

б) вычислим , следовательно, оптимальная смешанная стратегия первого игрока заключается в равновероятном применении стратегий и : .

Найдем оптимальную смешанную стратегию второго игрока:

а) упростим платежную матрицу: так как через точку максимина первого игрока проходят две прямые, и , соответствующие стратегиям и второго игрока, то при упрощении в платежной матрице следует оставить только второй и третий столбцы: ;

б) по строкам матрицы с учетом условия нормировки составим и решим систему уравнений для определения оптимальной смешанной стратегии второго игрока:

в) из решения системы получаем , ;

г) составим оптимальную смешанную стратегию второго игрока .

6) Найдем цену игры .

Ответ. Смешанные стратегии: , ; цена игры .