40.4. Упрощение платежных матриц

Поиск оптимальных стратегий тем сложнее, чем больше размерность платежной матрицы. Поэтому поиск оптимальных стратегий начинают с упрощения платежной матрицы.

Определение 32. Если в платежной матрице элементы -ой строки не меньше соответствующих элементов -ой строки, то есть ( ), то стратегию называют доминирующей над стратегией (стратегию называют доминируемой).

Определение 33. Если в платежной матрице элементы -го столбца не больше соответствующих элементов -го столбца, то есть ( ), то стратегию называют доминирующей над стратегией (стратегию называют доминируемой).

Определение 34. Стратегии и ( и ) называют дублирующими друг друга, если ( ) ( ( )).

Замечание. Дублирование является частным случаем доминирования. Игрокам выгоднее пользоваться доминирующими стратегиями. Поэтому вероятность применения доминируемых стратегий равна нулю. Исключая из платежной матрицы доминируемые стратегии, можно уменьшить ее размерность, что упрощает решение игры. При исключении доминируемых стратегий цена игры не меняется.

Теорема 4. Оптимальные смешанные стратегии и в игре с платежной матрицей и ценой остаются оптимальными и для игры с платежной матрицей ( ) и ценой .

На основании теоремы 4 платежную матрицу всегда можно преобразовать так, что ее элементы будут целыми неотрицательными числами, что упрощает расчеты.

Пример 40.6. Найти решение игры, заданной платежной матрицей

.

Решение. Найдем верхнюю и нижнюю цены игры:

, .

Так как , то игра не имеет решения в чистых стратегиях. Оптимальной стратегией первого игрока является стратегия , так как в ней расположен максимин . Оптимальной стратегией второго игрока является стратегия , так как в ней расположен минимакс .

Исключим невыгодные стратегии первого игрока. Так как все элементы строки не превосходят элементов строки , то строку можно исключить. Аналогично все элементы строки не превосходят элементов строки , поэтому исключаем . Строку исключить нельзя, так как в ней есть элементы, превосходящие элементы строки . Тогда преобразованная платежная матрица игры будет иметь вид . Исключим невыгодные стратегии второго игрока. Все элементы столбцов , и больше соответствующих элементов столбца , поэтому эти столбцы можно исключить. В столбце есть элементы, меньшие соответствующих элементов столбца , поэтому этот столбец следует оставить. Преобразованная платежная матрица игры будет иметь вид .

Найдем седловую точку матрицы в смешанных стратегиях. Пусть смешанные стратегии игроков определяются векторами вероятностей , , компоненты которых удовлетворяют условию нормировки , . Функция выигрыша будет иметь вид

.

Так как первый игрок стремится получить максимальный гарантированный выигрыш , то при оптимальной смешанной стратегии должно выполняться равенство или . С учетом условий нормировки система уравнений для определения оптимальных стратегий и первого игрока имеет вид

В ней содержится 3 уравнения и 5 неизвестных. Для отыскания и исключим переменные и с помощью подстановки: так как и , то . Тогда первое уравнение системы после подстановки в него выражения и группировки слагаемых относительно и можно записать следующим образом: .

Так как по теореме 3 значения и должны быть отличны от нуля (как оптимальные), то последнее равенство выполняется при произвольных положительных и только в том случае, когда выполняется равенство . Из условия нормировки выразим и подставим в полученное равенство. Раскрывая скобки и выражая , получим , . Таким образом, вероятности стратегий первого игрока , .

Применяя аналогичный прием для отыскания и получаем, что вероятности стратегий второго игрока , .

Подставим найденные оптимальные смешанные стратегии в функцию выигрыша, найдем цену игры .

Ответ. Цена игры при и . Первый игрок может с одинаковыми вероятностями применять обе стратегии. Второму игроку выгоднее чаще использовать первую стратегию.