40.3.2. Игры без решения в чистых стратегиях

Определение 24. Если платежная матрица игры не имеет седлового элемента, то есть , то такую игру называют игрой, не имеющей решения в чистых стратегиях.

В этом случае для каждого игрока важно, чтобы соперник не угадал выбора его стратегии. В этом случае используются смешанные стратегии, при которых реализуется схема случайного выбора чистой стратегии.

Определение 25. Смешанной стратегией первого игрока называют вероятностное распределение на множестве чистых стратегий этого игрока, задаваемого вектором , элементы которого удовлетворяют следующим условиям:

1) ( );

2)  , где ( ) – вероятности, с которыми первый игрок выбирает свои чистые стратегии .

Определение 26. Смешанной стратегией второго игрока называют вероятностное распределение на множестве чистых стратегий этого игрока, задаваемого вектором , элементы которого удовлетворяют следующим условиям:

1) ( );

2)  , где ( ) – вероятности, с которыми второй игрок выбирает свои чистые

стратегии .

При использовании смешанных стратегий игра приобретает случайный характер. Выбор каждой пары чистых стратегий является случайным событием и ввиду независимости случайных величин и реализуется с вероятностью . Величина выигрыша первого игрока (проигрыша второго игрока) становится случайной функцией смешанных стратегий и и определяется по формуле .

Определение 27. Функцию называют функцией выигрыша или платежной функцией.

Замечание. Формально функция представляет собой математическое ожидание выигрыша первого игрока на множестве смешанных стратегий и . Первый игрок, стремясь достичь наибольшего из гарантированных выигрышей, выбирает вектор вероятностей так, чтобы получить максимум минимальных значений ожидаемых выигрышей: то есть решает задачу максимина математического ожидания : . Соответственно, второй игрок решает задачу минимакса математического ожидания – найти такой вектор , что .

Определение 28. Смешанные стратегии и называют оптимальными, если они удовлетворяют неравенству .

Определение 29. Величину называют ценой игры.

Определение 30. Набор , состоящий из оптимальных смешанных стратегий и и цены игры , называют решением матричной игры.

Определение 31. Стратегию первого игрока называют максиминной стратегией, стратегию второго игрока называют минимаксной стратегией.

Теорема 2 (о минимаксе) (Дж. фон Нейман). Для матричной игры с любой платежной матрицей справедливы утверждения:

1) величины , существуют и равны между собой: ;

2) существует хотя бы одна ситуация в смешанных стратегиях , для которой выполняется соотношение

.

Теорема 3 (о свойствах оптимальных стратегий). Пусть , – оптимальные смешанные стратегии и – цена игры. Тогда:

1) оптимальная смешанная стратегия первого игрока может быть составлена только из тех чистых стратегий ( ), для которых ;

2) оптимальная смешанная стратегия второго игрока может быть составлена только из тех чистых стратегий ( ), для которых .

Следствие. Имеет место цепочка равенств:

.

Пример 40.5. Найти решение игры, имеющей платежную матрицу

.

Решение. Найдем верхнюю и нижнюю цены игры: , , нижняя цена игры ; , , верхняя цена игры . Таким образом, выполняется неравенство , и седловая точка у данной матрицы отсутствует. Задача не имеет решения в чистых стратегиях. Решение игры нужно искать в смешанных стратегиях.

Пусть смешанные стратегии игроков определяются соответственно векторами вероятностей , , для которых , – условия нормировки. Функция выигрыша имеет вид

.

Так как первый игрок стремится получить максимальный гарантированный выигрыш , то при оптимальной смешанной стратегии должно выполняться равенство или . С учетом условий нормировки составим систему уравнений для определения оптимальных стратегий и первого игрока

В полученной системе содержится три уравнения и пять неизвестных.

Для отыскания и воспользуемся следующим приемом исключения неизвестных. Так как и , то справедливо равенство . Подставим его в первое уравнение системы:

или

.

В силу теоремы 3 значения и являются оптимальными и должны быть отличны от нуля. Следовательно, последнее равенство выполняется при произвольных положительных и только в случае, когда выражения в скобках одновременно равны нулю:

или .

Из условия нормировки выразим и подставим в последнее уравнение: . Решая его, получаем , тогда . Таким образом, вероятности оптимальных стратегий первого игрока .

Перепишем функцию выигрыша следующим образом:

.

Так как второй игрок стремится получить минимальный гарантированный проигрыш , то при оптимальной смешанной стратегии должно выполняться равенство или . С учетом условий нормировки система уравнений для определения оптимальных стратегий и второго игрока имеет вид

Аналогично для отыскания и из соотношений и имеем право записать . Подставим полученное соотношение в первое уравнение системы, после группировки слагаемых получим уравнение

.

Так как по теореме 3 значения и должны быть отличны от нуля (как оптимальные), то последнее равенство выполняется при произвольных положительных и только в том случае, когда . Выразим из условия нормировки , подставим в последнее уравнение и найдем , . Таким образом, оптимальная смешанная стратегия второго игрока определяется вектором .

Подставим найденные оптимальные вероятности смешанных стратегий в функцию выигрыша, найдем цену игры:

.

Ответ: ; ; .