40.2. Матричные игры
Определение 13. Игру, в которой участвуют два игрока, называют парной игрой.
Пусть в игре участвуют два игрока А
и В. Каждый из игроков располагает
конечным числом чистых стратегий.
Обозначим их соответственно:
,
,
…,
– стратегии первого игрока,
,
,
…,
– стратегии второго игрока. Игрок А
может выбрать любую чистую стратегию
,
,
в ответ на которую игрок В может
выбрать любую свою чистую стратегию
,
.
Если игра состоит только из личных
ходов, то выбор пары стратегий
однозначно определяет результат
– выигрыш игрока А. При этом проигрыш
игрока В составит
(выигрыш игрока В равен
).
Если известны значения
для каждой пары
чистых стратегий, то можно составить
матрицу выигрышей игрока А
(проигрышей игрока В)
.
Определение 14. Прямоугольную
матрицу
размерности
,
где
(число
строк) – число чистых стратегий
первого игрока, а
(число столбцов) – число стратегий
второго игрока, а в клетках указаны
выигрыши игроков для каждой ситуации,
называют платежной матрицей игры
(матрицей выигрышей, матрицей платежей)
первого игрока.
Определение 15. Игры двух игроков, функции выигрышей которых можно представить в виде матриц, называют матричными.
Замечание 1. Платежная матрица
второго игрока:
.
Замечание 2. Для наглядности матрицы выигрышей обоих игроков объединяют в биматрицу игры, элементами которой являются упорядоченные пары, состоящие из выигрыша первого и проигрыша второго игрока при данной стратегии:
.
Пример 40.1. Два игрока независимо друг от друга записывают любое целое число. Если выписанные числа имеют одинаковую четность, то игрок А получает от игрока В один рубль, а если разную, то наоборот, игрок А платит игроку В один рубль. Требуется составить платежную матрицу игры.
Решение. Игрок
А
имеет две стратегии:
– записать четное число,
– записать нечетное число. Игрок В
также имеет две стратегии:
– записать четное число,
– записать нечетное число. Выбор игроками
соответствующих стратегий
и
однозначно определяет исход игры:
– выигрыш игрока А.
Стратегиям
и
соответствует выигрыш игрока А,
равный одному рублю, а стратегиям
и
соответствует проигрыш игрока, равный
одному рублю. Тогда платежные матрицы
игроков и биматрица игры будут иметь
вид
,
,
.
Пример 40.2. Две
фирмы функционируют на рынке одновременно
с одинаковым товарным объемом
.
У обеих фирм по соображениям рентабельности
есть следующие стратегии: либо вбросить
на рынок полный объем товара
,
либо выбросить на рынок половину объема
0,5
.
Если первая фирма выбрасывает на рынок
полный объем товара, а вторая – половину
объема, то первая фирма получает 100 %
запланированной прибыли, а вторая –
только 25 %, и наоборот. Если обе фирмы
выбрасывают на рынок по полному объему
прибыли, то получат по 15 % прибыли;
если по половине объема, то прибыль
каждой из фирм составит по 50 % от
запланированной.
Решение. Обозначим
– объем товара для каждой из фирм. Для
первой фирмы возможны две стратегии:
,
(выбросить на рынок весь объем товара
или его половину). Аналогично для второй
фирмы:
,
(выбросить на рынок весь объем товара
или его половину). Примем долю прибыли
(в процентах от запланированной) за
значение выигрыша при каждой стратегии.
Тогда возможны следующие ситуации:
и
– одна из фирм выбросила
товара, а другая
товара;
– обе фирмы выбросили по
товара. Запишем матрицы выигрышей обеих
фирм и биматрицу игры:
,
,
.
Пример 40.3. Две конкурирующие фирмы
борются за рынки сбыта, других конкурентов
в этом сегменте нет (дуополия). В этом
случае каждый из игроков может назвать
цену p, по которой он
хочет продать определенное количество
товара. При этом полагается, что
потребители приобретут товар у фирмы,
объявившей меньшую цену. В случае
объявления одинаковой цены спрос
распределяется между фирмами поровну.
Решение.
Каждый из игроков обладает бесконечным
числом стратегий. Функция выигрышей
игроков характеризует величины дохода
фирм в зависимости от объявленных цен.
Так как доход фирмы
,
то функцию выигрышей игроков можно
представить в виде
