Неопределенности

усть заданы две функции  и  . Если существуют   и   , то существуют и пределы суммы и произведения этих функций, а при  и предел частного, причем         ,     ,        . Для правильного применения этих теорем очень важно существование пределов каждой функции. Не трудно доказать, что предел постоянной функции равен этой постоянной, то есть    . Из приведенных формул следует полезное утверждение: 

  , то есть постоянный множитель можно выносить за знак предела. Если сделать замену переменной  , то вычисление предела при    всегда можно свести к вычислению предела при  . Из определения непрерывной функции следует, что ее предел совпадает со значением функции в этой точке. Доказывают, что все элементарные функции непрерывны в области определения, поэтому, если функция определена, то вычисление предела сводится к применению указанных теорем и подстановке   в выражение для функции.

ПРИМЕР 1.  Простейшие методы вычисления пределов

Неопределенности и их раскрытие.

Существуют случаи, когда не применимы теоремы о пределах суммы, произведения, частного, но предел существует и может быть вычислен. Если   и    , то может существовать  . В этом случае говорят, что имеем неопределенность типа  . Также может существовать    , в этом случае имеем неопределенность типа    . Если    и    , то может существовать   .   В этом случае говорят, что имеем неопределенность типа  . Если      и    , то может существовать   - неопределенность типа   . Рассматривают также неопределенности типа  ,  и т. д. Основным признаком неопределенности является невозможность корректного вычисления функции простой подстановкой  в выражение для функции. Полезно запомнить замечательные пределы:

       (е = 2.71828… - основание натуральных логарифмов) - неопределенность типа  .

        - неопределенность типа  .

ПРИМЕР 2.  Простейшие методы раскрытия неопределенностей

Использование эквивалентных бесконечно малых.

Если мы имеем неопределенность типа     , то это означает, что мы вычисляем предел отношения двух бесконечно малых функций. Напомним, что функция называется бесконечно малой, если ее предел в точке   равен нулю. Пусть ,  ,  ,   - бесконечно малые функции при   , причем  эквивалентна   , т.е.  ~  ,  ~  (напомним, что две бесконечно малых называются эквивалентными, если предел их отношения равен 1). Тогда , т.е. при вычислении пределов отношений бесконечно малых любую из них можно заменять на эквивалентную.

ПРИМЕР 3.  Раскрытие неопределенностей с помощью эквивалентных бесконечно малых

Правило Лопиталя.

Неопределенности типа   или  удобно раскрывать с помощью правила Лопиталя. Пусть   и   две бесконечно малые или бесконечно большие функции при   и существует предел отношения их производных при  . Тогда   . Если в результате применения правила Лопиталя снова получится неопределенность, то его можно применить еще раз.

ПРИМЕР 4.  Раскрытие неопределенностей с помощью правила Лопиталя

Формула Тейлора.

Пусть функция  имеет в точке   производные всех порядков до  -го включительно. Тогда для     справедлива формула Тейлора:

где   называется остаточным членом формулы Тейлора.

ПРИМЕР 5.  Раскрытие неопределенностей с помощью формулы Тейлора

Точка x0называется точкой локального максимума функции f  x, если существует такаяокрестность точки x0, что для всех x из этой окрестности f  x f x    0.

Определение. Точка x0называется точкой локального минимума функции f  x, если существует такаяокрестность точки x0, что для всех x из этой окрестности f  x f x    0