21.Метод исключения решения задачи на усл минимум. Пример.

Будем решать задачу (1) (2);

Предполаг, сто ф-ции пределены и имеют непрепывн частные производные 1-го порядка на всем пространстве . Ограничение (2) наз ограничениями типа равенств.

Если систему ограничений (2) можно представить в виде , то задачу (1),(2) можно свести к задаче безусловной оптимизации ф-ции , зависящей от (n-m) переменных.

Теоретич возможность применения такого метода исключения для реш задачи учл оптимизации основана на теореме о неявных ф-циях.

Т1 о неявных ф-циях. Пусть m-мерная ф-ция определена и непрерывна по всем переменным, диф-ма по переменным z и удовлетворяет условиям: в точке , тогда сущ m-мерная ф-ция определенная и непрерывная в окрестности точки , такая что

1.

2.

3. имеет в окрестности частн произ-ные того же порядка, что и ф-ция по .

Утверждение. Метод искл в задаче (1),(2)применим, если в окрестности точки ф-ции диф-мы и .

Док-во: Матрица . Т.к. , то сущ минор порядка m отличный от 0. Пусть этот минор располагается в 1-ых m строках рассм матрицы. Обозначим 1-ые m координат вектора x через z, а остальные через u; через – вектор ф-цию . Тогда в точке вып все усл теоремы в неявн ф-циях,следовательно сущ искомая ф-ция

Замечание. Практ применение мет искл сущ-но ограничено сложностью решения в явном виде системы ограничений относительно m неизв-ных.

Пример2. .

; ;

;

(0;-2)-стац точка.

не явл экстремальной, исх целевая ф-ция на мн-ве Х экстремумов не имеет.

22.Обобщ правило множ Лагранжа в задаче опт-ции ф-ции с огранич типа равенств.

Класич метод решения задачи (1) (2) связан с ф. Л.

Т1 обобщ правило мн Л. Пусть точка явл точкой лок минимума ф-ции (1) при огр (2) и ф-ции непрерывно диф-мы в окрест точки , тогда сущ числа одновременно , наз-мые множителями Л, такие что (3). Док-во. Т.к. числа одновременно в 0 не обращаются, то вектора явл линейно зависимыми. Допустим противное, т.е. перечисленные вектора явл лин незав, тогда их кол-во не превосходит размерности пр-ва, т.е. , если , то систему перечисленных векторов дополним векторами т. о., чтобы система – лин незав. Введем ф-цию след образом , ; . Для нее вып и определитель для ф-ции вып-ны усл теоремы о неявных ф-циях. , системы уравнений имеют решение , определенные , где –некот малое число и это решение удовл след усл 1 ; 2 , (*); . Найденная ф-ция явл непрер диф-мой для . Заметим, что ф-ция удовлетв ограничениям (2) (следует из (*)), и при (след из ). Рассм знач целев ф-ции на ф-ции для : . Мы нашли другую точку , в кот значение целевой ф-ции < чем значение , что противоречит лок оптимальности точки , предполож о лин независимости векторов неверно. Зам1. Из Т1 , что в задаче (1),(2) оптим могут быть только те точки , для кот сущ ненулевой вектор множителей Л. , что точка удовлетвор системе из n+m уравнений: (4). Зам2 Если точка предст собой решение системы (4), то точка для тоже предст собой решение системы (4), т.е мн.Л. опред с точностью до постоян множителя. Поэтому при реш системы соотнош (4) знак одной их координат обобщенного вектора Л. можно выбрать заранее. Обычно полагают . Опр. Если сист. (4) имеет только такие решения, что , то задачу (1),(2) наз нормальной (регулярной, невырожденной). Зам3. В норм задаче множитель полагают =1. Зам4. Решив систему соотнош (4), находят точки подозрительные на экстремум. Для выяснения того, будут ли найд точки экстремальными, проводят допол исследов с исп 2-ых производных ф-ции Л. по переменным .