18. Теорема о точках минимума выпуклой функции. Теорема о стационарной точке выпуклой функции.

(1) (2)

Т.(о точках минимума выпуклой ф-ии): Пусть в задаче (1)-(2) ф-ия выпукла, определена на выпуклом мн-ве Х, тогда:

1) каждая точка ее локального минимума (если такая сущ-ет), явл-ся точкой глобального минимума;

2) Мн-во решений задачи (1), (2) явл-ся выпуклым;

3) если ф-ия строго выпукла, то она может достичь своего min не более чем в одной точке.

Док-во: 1) Пусть есть точка глобальн min ф-ии , т.е. окрестность этой точки , так что Пусть точка Соединим эти точки отрезком

Т.к. мн-во Х явл-ся выпуклым , то при всех : при , след-но найдется такое значение что Поэтому

что противоречит тому, что т. явл-ся точкой локальн min.

2) Мн-во - мн-во решений задачи Пусть мн-во состоит более чем из одной точки. Возьмем Рассмотрим Т.к. ф-ия - выпукла, то

выполняется нер-во

3) Предположим сущ-ет точка Соединим точки и отрезком:

мы нашли точку в которой что противоречит тому, что явл-ся точкой локального min. Теорема доказана.

Т 2 (о стационарной точке выпуклой ф-ции): Каждая стационарная точка выпуклой функции , определенная на выпуклом множестве Х, является ее точкой минимума.

Док-во: Пусть стационарная точка ф-ции , т.е. Рассмотрим произвольную точку Для точек в силу выпуклости ф-ции выполняется:

(3)

Т.к. ф-ция дифференцируема, то приращение (из (3))=>

.

По свойству неотрицательности остатка точка минимума. Теорема доказана.

19. Необходимое условие минимума непрерывно дифференцируемой функции на выпуклом замкнутом множестве, сформулированное в терминах проекции точки на множество. Критерий решения задачи минимизации выпуклой непрерывно дифференцируемой функции на выпуклом замкнутом множестве.

Пусть (1).

Полагаем, что в задаче (1) функция -непрерывна дифференцируема, а мн-во Х- выпукло и замкнуто.

Теорема 1. Пусть т. -есть точка min в задаче (1). Тогда

Теорема 2. Пусть в задаче (1) функция выпукла, мн-во Х – выпукло, замкнуто, ограничено. Тогда для того, чтобы т. была т. min в задаче (1) необходимо и достаточно, чтобы т. была проекцией

Док-во: Из теоремы 1.

Ф-ия выпукла и -проекция;

Тогда можно сказать, что:

для выпуклой ф-ии .

Тогда можно сказать, что т. явл. точкой min ф-ии на мн-ве Х.

Замечание 1: Если функция непрерывна и диф-ма, а мн-во Х явл. выпуклым и замкнутым, тогда отображение, определяющее проекцию: , явл. конечным и однозначным.

Замечание 2: Необходимое условие min ф-ии на выпуклом, замкнутом мн-ве Х можно сформулировать в виде рав-ва:

20.Классический метод решения задачи безусловной минимизации функции многих переменных. Пример.

Под кл. методом подразум. подход к поиску экстремумов ф-ции многих переменных, осн. на дифференц. исчисл.

Т1 Вейерштрасса о достижении непрер. ф. точной верхней (точной нижней) грани на огранич. замкнут. мн-ве. Пусть в задаче (1), мн-во Х не пусто, ограничено, замкнуть; f(x) определена, принимает конечн. значения и непрерывна на мн-ве Х, тогда решение зад. (1) сущ, т.е. , , мн-во Х* - мн-во решений.

Сл из Т1 Пусть мн-во X в задаче (1) замкнуть, f(x) непреп. на X. Пусть сущ. , такое, что мн-во ограничено, тогда ф.f(x) достигает своей нижней грани на мн-ве X.

Зам1. Т. Вейер.. представл. собой достат. условие сущ. решения в задаче (1). Зам2. В любой точке вып. нер-во .(2) Обратно, если вып. нер-во (2), то точка у явл. решением задачи (1).

Т2 Пусть диф-ма в точке и точка у явл точкой лок минимума ф-ции , тогда (градиен). Док-во. Возьмем произв точку и построим точки . Рассмотрим приращение , т.к. ф f(x) диф-ма в точке у, то . Возьмем (разделим на и ): , .

Зам 3. В точке, в кот градиент целевой ф-ции =0, наз стац-ным. Зам 4 Поиск точек экстремума можно начинать с поиска стац. точек, т.е. с решения системы n уравнений с n неизвестными . Т 3 Пусть ф-ция f(x) дважды диф-ма в точке у, если у есть точка локальн минимума задачи (1),то матрица (наз матрицей Гессе) вторых частных производных целевой ф-ции неотр опред ,т.е. . Док-во В силу того, что точка у явл точкой лок минимума задачи (1) , тогда . Разделим на , : . Зам 6 Если точка у явл точкой лок максимума, то для любого вып-ся . Т4 Достат усл оптимальности. Пусть ф-ция f(x) дважды диф-ма в точке , , , т.е. , тогда точка у явл точкой лок минимума задачи (1). Док-во от противного.Пусть точка у , удовл усл теоремы, не явл точкой лок минимума задачи (1) тогда сущ посл-сть такая что . Представим в виде: поэтому последовательность . Рассм приращение Посл нер-во разделим на и устремим , тем самым : , ?! Квадрат. форма =(1), если , то . Знакоопредел квадр формы пред с пом критерия Сильвестра.

Пример. ;

;

;

;

матрица положит опред, необх усл 2-го порядка вып, дост усл вып, следовательно точки (0,2Пn) явл точками минимума.

квадр форма знаконеопред, необх усл 2-го порядка не выр, следовательно, точки(2,П+Пn) не явл точками экстемума Зам 7 Т2-Т4 работают когда мн-во совпадает со всем пространством, в этом случае задача (1) наз задачей безусловной оптимизации, если мн-во чвл строгим подмн-вом пр-ва , то задача (1) наз задачей усл оптимизации. Для задачи усл опт-ции Т2-Т4 справедливы, если (принадлежит внутренности мн-ва. Х) Однако это не всегда так.Зам 8 Если в задаче (1) ф-ция , то Т2-Т4 легко обобщаются:

1 если у – точка минимума ф-ции f(x) на отр. [a,b]: Если при усл сущ-ния производных поним как односторонние производные. 2 если , то точка у явл точкой лок минимума ф-ции f(x)на отрезке .