9. Обоснование конечности симплекс-алгоритма.

Алгоритм решения з. оптимизации назыв. Конечным, если для его реализации на компе требуется конечное число операций для нахождения оптимального плана.

ЗЛП невырожденная, если все угловые точки мн-ва Х невырожденные.

Теорема. Если в невырожд. ЗЛП известна какая-либо угл. т-ка, то отправляясь от нее либо б. найден оптимальный план, либо б. показано, что цел. Ф-я неограниченна и для этого понадобится конечное число итераций.

Док-во. Пусть у – угл. т-ка мн-ва Х. Т.к. ЗЛП невырожд., то . Разрешающий эл-т . Если не вып. достат. усл-е оптимальности , то

Т.е. переход к др. угловой точке происходит со строгим возрастанием, а достигается только в 1 строчке, т.е. выбор координаты, выводимой из базиса однозначный. Число угл. т-к конечно. Из всего этого следует конечность симплекс-алгоритма.

10. Обоснование непустоты множества планов в злп. Пример.

(1)

Рассм след вспомог задачу:

Введем в рассм искусств перемен . Т.к. множество : (2)

И рассм задачу: (3)

В покоординатной форме ограничения (2) им след вид

Замеч: 1). Если вектор ,то система основных ограничений (2) переходит в систему основных ограничений (1)

2). Множество , т.к.

3). Т. является угловой точкой мн-ва Z с базисом

4). Целев ф-ия , т.о. зад (3) – есть ЗЛП в канонической форме, к кот удобно применить симплекс метод, при этом в силу огр-ти целев ф-ии на Z зад (3) обяз-но им решение.

Непустота мн-ва планов

Пусть - реш зад (3) и знач целев ф-ии зад (3).

Возможны 2 случая: 1.

2.

Утверждение: Если

Док-во: Предположим, что , но , т.е. , тогда противоречие с тем, что - реш зад (3). ЧТД

Утверждение: Если , то угловая точка этого мн-ва.

Док-во: Рассм случай, когда из подстановки в зад (3) полагаем, что и в силу того, что .

Покажем, что - угловая точка X: . Построим точки тогда , но

- - угловая точка мн-ва Z, как решение ЗЛП (3), полученное симплекс методом послед рав-во возможно, когда -угловая точка мн-ва X.

11.Нахождение базиса угловой точки. Пример. Св-во решений злп.

Угловая точка у=(0,0,800,640,145)

	800	8	25	1	0	0
	640	8	5	0	1	0
	145	1	5	0	0	1
	8	0	1	1/20	-1/20	0
	75	1	0	-1/32	5/32	0
	30	0	0	-7/32	3/32	1
		0	0	1	9	0

Г=6560 х=(75,8,0,0,30) Рассм посл симплекс таблицу. В общем случае среди базисных пер-ых этой таблицы будут присутствовать как осн пер-ые, так и искусств. Будем рассм случай, когда Г₁(z^*)=0

xB

yB

x1

…

xr

xr+1

…

xn

xn+1

…

xn+m-r

…

xn+m

xn+m-z+1

x1…xr

y1…yr

1,0…,0

0…01





0…0

0…0





xn+1...xn+m-r

0…0

0…0

0…0



n+i,j



1,0…0

0…0, 1





Г₁(z^*)=0 1 случай: В табл (*) отсутсв. строки, строки соотв исскуств Эл-там, т.е. r=m. Это значит, rang A= числу осн ограничений и вектора A₁,…,A_r представляют собой базис угловой , когда z^*=( ,0).2 случай: В табл (*) на пересечении строк, соотв исскуств перемен, и столбцов, соотв осн переем, есть положит элементы _n+1,j >0, i{1,…,n-r}, j{r+1,…n}Выбирая элемент _n+1,j в кач-ве разрешающего, исскуств переменную x_n+1 выводим из базиса, т.к. x_n+I=0: то в результате провед вычисл остаёмся в той же угловой точке мн-во Z^*, только заменив её базис.3 случай: все коэф выделеной части табл (*) <=0 3.1 случай:найдется строчка соотв исскуств перемен, в котор на пересечении с столбцами соотв оси переменных, все коэф =0. Это означ, что выбран строка соотв осн огранич, котор явл лин комбин остальных осн ограничений. В данном случае строка удал из таблицы.3.2 случай: в некотор строке, соотв исскуств перем, на пересеч со столбцами соотв осн элементам, есть отриц элемент, а остальн коэф в этой строке =0. В этом случае осн огранич (1) могут выполн только при условии x_j=0, где x_­n+1,j<0. Столбец для x_j удаляется и продолж решение для ост части таблицы. По окончанию решения добавл решение x_j=0

Замечание: задача (3) задача 1-ой фазы.Зам: если нет необходим дальнейш анализа исх задачи, то когда в процессе реш исх задачи (3) исскуств перемен перешла в небазисное, т.е. этого столбца в дальнейшем разрешающ элемент брать не следует. Более того, столбец для этой исскуств перем можно удалить.