46 Достат условия оптимальности для линейной задачи оптимального быстродействия (зоб).
Пусть
в задаче ОБ движение объекта подчиняется
системе (1) ДУ:
(1).
Т1:
Пусть
некоторое допустим управление,
- соотв решение системы(1), удовл гранич
условиям
;
опред на отр
.
На отр времени
сущ решение вспомагат системы
(2)
с нач условием
,
где
– сфера. Пара
вместе с решением
системы(2) удовлетв след условиям:1.
усл максимума:
,
(3),
для почти всех
(за исключением меры мн-ва
);
2.
усл трансверсальности на мн-ве
:
(4);
3.
усиленное усл трансверсальности на
мн-ве
:
(5),
выполняется
.Тогда
управление
оптимально. Док-во:
Пусть
некоторое допустимое управление и
соотв ему решение системы (1) на отрезке
времени
.
Определим ф-цию
(6).
Покажем, что
(7) для
почти всех
.
Нер-во (7) доказано. Предположим, что
выполн усл теоремы, но управлен
не явл оптим.; т.е. сущ управл
и соотв ему реш
,
кот переводит объект из мн-ва
на мн-во
,
при
.
Рассм знач ф-и
(8).
Ф-ция
может быть представлена:
и из нер-в (8) и (7)
.
Рассмотрим значение
и скаляр произведение
{из усл (5)}
,
тогда
.
47. Пример решения задач оптимального быстродействия.
Пример
A=
u=
U={u
є R2|
u1=0,
|u2|
1}
M0
={x0}є
R2
, M1={0}
A*=
C1,С2-
const
усл.
Max c(U,
)=max(u,
)=max
u2
2
=|
2|
(u(t), (t))=| 2|, u2(t) 2(t) =| 2(t)|
1, 2>0
u2= [-1;1], 2(t)=0
-1, 2<0
2) усл. трансверсальности на M0
(x(t0), (t0))=C(M0, 2(t0))=(x0, (t0))
x(t0)=X0
3) усл. трансверсальности на M1
(x(t1), - (t1))=C(M1, - (t1))=0
x(t1)=0
I
II
Усиленное
условие трансверсальности (x(t),
-
(t))>0
tє[0;t1)
Предположим, что начальная точка нах-ся
выше линии переключения управления.
Обозн. через
момент переключения уровня
Рассмотрим
моменты времени
tє[
,t1)
Т.к.
При tє[0; )
(
;
)=
- начальная
точка
При
чем
Если точка лежит ниже линии переключения, то рассуждения симметричны.