36. Постановка задачи вариационного исчисления. Пр.

Говорят, что на некотором классе функций задан функционал, если каждой функции x=x(t) из этого класса, поставлено в соответствие число . Если кажд. функцию x(t) рассматривать, как элемент некоторого пространства L, например пространство непрерывных функций, непрерывно дифференцируемых функций, то ,где

В пространстве L можно рассматривать некоторые множества X L, например множество

Тогда можно рассматривать задачу оптимизации в функциональном пространстве, кот. формально может быть записаннa в той же форме, что и задача мат. прогр:

Найти такое , что . (1)

Задача (1) понимается в глобальном смысле, если необходимо найти функцию, доставляющую линейному функционалу J(x) по всем x X и понимаемом в лок смысле, если, , где

Сформулируем зад. вариационного исчисления:

Пусть на отрезке T= определена непрерывно дифференцируемая функция x(t), принимающая на концах отрезка заданные значения:

Определим множество:

(2)

И на этом множестве определена функция:

(3)

Где функция определена и непрерывна по всем своим аргументам вместе с частными производными по x, ,t до 2-го порядка. Требуется найти функцию , такую что (4)

Функции из множества (2) называются допустимыми, а функция называется минималью.

Зад. (2)-(4) обычно понимается в локальном смысле, т.е. минимум ищется по функциям

• если

то говорят о сильном локальном минимуме

• если

то говорят о слабом локальном минимуме

Замечание

Е сли на некоторой кривой достигается сильный локальный минимум, то на ней достигается и слабый локальный минимум, но не наоборот. Поэтому необходимые условия слабого локального минимума будут являться и необходимыми условиями сильного локального минимума, но не наоборот.

Пример: (зад. о бахистохроне – кривая наискорейшего времени )

На плоскости заданы 2-е точки А и B. Введем декартовую систему координат: т. А попадает в начало координат, а т.B имеет координаты .Из А в B скатывается тяжелая материальная точка.

Найти кривую x(t) по которой перемещение из А в B произойдет за минимальное время.

Начальная скорость . Точка скатывается под воздействием силы тяжести; сопротивление не учитывается, поэтому скорость точки зависит только от положения точки и не зависит от формы кривой.

По закону Галия: , где g- ускорение свободного падения. С другой стороны, скорость в каждый момент времени вычисляется, как отношение , где ds- дифференциал дуги, которая будет пройденна точкой за время dt.

Известно, что

Т.о.

Тогда время, которое необходимо точке для перехода из А в B определяется как

Т.о. получаем следующую задачу вариационного исчисления:

37. Метод вариаций лагранжа Пусть в задаче , где и исследуется на минимум кривая , тогда все допустимые кривые X(t), из множества X можно представить в виде:

Тогда рассмотрим приращение функционала:

=/ в силу дифференцируемости функции F/=

= (т.к минимально), где бесконечно малая велич.

В таком разложении приращения функционала, кривые имеют произвольную природу, что влечет за собой сложность исследования. Представим кривые в виде однопараметрического семейства функций:

Для таких приращений функций рассмотрим приращение функционала:

где

наз. первой вариацией функционала. Т.к

( на кривой подозрительной на минимум)

Замечание:

Необходимое условие оптимальности в силу произвольности функций является неудобным для использования.