24.Достат условия экстремума в задаче опт-ции с ограничениями типа равенств.
(1) (2)
Т1
Пусть в
задаче (1),(2)
.Пусть в точке
вып необх усл оптимальности, а именно
такой что
(3)и
допол-но квадратичн форма 2-ых производных
ф-ции Л
(4)
для всех векторов
,
удовл усл:
(5),
(6),
тогда точка явл строгим лок минимумом(лок максимумом) задачи (1),(2).
Зам.
В сформулир достат усл не требуется
обыкновенность планов
.
Док-во теоремы.
Док-во для задачи на минимум. Пусть усл
теоремы выполнено, но точка
не явл точкой строгого лок минимума,
тогда сущ посл-ть
,
такая что
,
и
.
Точки
предс в виде:
,
,
,
посл-ть векторов
явл ограниченной и в силу того, что
,
то посл
стремится
.Рассм
ф-ции
–диф-мы , поэтому
,
для нулевой ф-ции
.Два
посл соотношения делим на
,
устремляем
,
получаем:
;
,
т.е.
вектор
удовлетворяет усл (5),(6). Рассм ф-цию Л
т.к.
х* удовлетв соотнош (6)
по предположению теоремы ф-ции
,
ф-ция Л тоже дважды диф-ма, т.е.
.
Рассмотрим разность
.
В силу усл (3) получаем
.
Последнее нер-во делим на
,
:
,
т.е. нашли вектор
,
удовл усл (5),(6), на кот нарушается усл
(4). ?!
25. Задача проектирования на выпуклое и замкнутое множество. Свойства проекции. Примеры.
Опр.
Расстояние от точки
до
мн-ва
определ.
формулой
Функция
непр.
по y.
Опр.
Проекцией точки y
на мн-во X
наз. такая точка
,
для кот.
Задача нахождения точки p
наз задачей проектирования точки y
на мн-во X.
Если решение задачи проектирования
,
то норма
Задачу
проектир. обычно заменяют равносильной
задачей
(1)
Задача (1) предст. собой задачу min-ции
квадратичной ф-ции.
Утв1.
Если мн-во
явл.
Замкнутым и не пустым, то
и
если
,
то
Док-во.
Пусть
.
В противном сл.
.
Рассм. произв. точку
и
построим мн-во
.
Мн-во
не
явл. пустым, явл. замкнутым и огранич.
Поэтому по теор. Вейерштрасса
проекция точки y
на Z.
В силу постр. мн-ва Z:
.
Пусть
,
Предп. противное.
.
Тогда
.
Рассм. отрезок, соед. точки y
и
p:
.
Найдется такое
,
что при
.
Рассм. расстояние
След-но,
p
не явл. проекцией.Утв2.
Если
непустое,
выпуклое и замкнутое, то
ед. проекция
Док-во.
Пусть
.
Тогда очевидно, что
,
поэтому явл. ед. Рассм., когда
.
Предп., что
более одной проекции
,
,
Вектора
не
явл. коллинеарными. Действ-но, если
,
то
.
Если
,
то
.
Это противоречит тому, что
.Рассм.
Нашли
точку
,
такую
,
что противор., что
-проекции
Замеч.
Если мн-во не явл. выпуклым, то может
сущ. две проекции Рассм. примеры
нахождения проекций точек на мн-ва для
некот. конкр. мн-в
1)
2)
3)
4)
Т.к. проекция в любой точке, не принадл.
X,
будет принадл. границе мн-ва X,
то от данной задачи можно перейти к
задаче min-ции
функции f(x)
при ограничении
.
Т.к. c-ненулевой
вектор, сост. классич. ф-цию Лагранжа
Система необходимых условий:
26. Необходимое условие минимума непрерывно дифференцируемой функции на выпуклом замкнутом множестве, сформулированное в терминах проекции точки на множество. Критерий решения задачи минимизации выпуклой непрерывно дифференцируемой функции на выпуклом замкнутом множестве.
Пусть (1).
Полагаем, что в задаче (1) функция -непрерывна дифференцируема, а мн-во Х- выпукло и замкнуто.
Теорема 1. Пусть т. -есть точка min в задаче (1). Тогда
Теорема 2. Пусть в задаче (1) функция выпукла, мн-во Х – выпукло, замкнуто, ограничено. Тогда для того, чтобы т. была т. min в задаче (1) необходимо и достаточно, чтобы т. была проекцией
Док-во: Из теоремы 1.
Ф-ия выпукла и -проекция;
Тогда можно сказать, что:
для выпуклой ф-ии .
Тогда можно сказать, что т. явл. точкой min ф-ии на мн-ве Х.
Замечание 1: Если функция непрерывна и диф-ма, а мн-во Х явл. выпуклым и замкнутым, тогда отображение, определяющее проекцию: , явл. конечным и однозначным.
Замечание 2: Необходимое условие min ф-ии на выпуклом, замкнутом мн-ве Х можно сформулировать в виде рав-ва: