1. Понятие решения задачи математического программирования.

2. Основные формы задач ЛП. Правила сведения задачи ЛП к канонической форме. Геометрическая интерпретация задачи ЛП. Понятие угловой точки множества.

3. Критерий угловой точки множества.

4. Определение базиса угловой точки. Невырожденные угловые точки. Примеры.

5. Связь между переменными задачи ЛП.

6. Формула приращения целевой функции задачи ЛП.

7. Достаточное условие оптимальности в задаче ЛП. Достаточное условие неразрешимости задачи ЛП.

8. Итерация симплекс–метода.

9. Обоснование конечности симплекс – алгоритма.

10. Обоснование непустоты множества планов в ЗЛП. Пример.

11. Нахождение базиса угловой точки. Пример.

12. Свойства решений ЗЛП.

13. Постановка транспортной задачи (ТЗ). Построение начального плана перевозок методом северо-западного угла, методом минимального элемента.

14. Определение закрытой модели ТЗ. Крит существования решения ТЗ.

15. Исследование множества клеток транспортной таблицы.

16. Достаточное условие минимальности стоимости перевозок.

17. Определения выпуклого множества, выпуклой функции. Свойства выпуклых множеств. Сумма выпуклых функций. Свойство Лебега выпуклых функций. Свойство неотрицательности остатка выпуклой функции.

18. Теорема о точках минимума выпуклой функции. Теорема о стационарной точке выпуклой функции.

19. Необходимые условия минимума дифференцируемой функции на выпуклом множестве, выраженные через скалярное произведение. Критерий минимума выпуклой дифференцируемой функции на выпуклом множестве, сформулированный через скалярное произведение.

20. Классический метод решения задачи безусловной минимизации функции многих переменных. Пример.

21. Метод исключения решения задачи на условный минимум. Пример.

22. Обобщенное правило множителей Лагранжа в задаче оптимизации с ограничениями типа равенств.

23. Классическое правило множителей Лагранжа в задаче оптимизации с ограничениями типа равенств. Необходимые условия второго порядка в задаче оптимизации типа равенств.

24. Достаточные условия экстремума в задаче оптимизации с ограничениями типа равенств.

25. Задача проектирования на выпуклое и замкнутое множество. Свойства проекции. Примеры.

26. Критерий построения проекции на выпуклое замкнутое множество. Необходимые условия минимума дифференцируемой функции на выпуклом множестве, выраженные в терминах проекции точки на множество. Критерий минимума выпуклой дифференцируемой функции на выпуклом множестве, сформулированный с помощью оператора проектирования.

27. Основные определения в задаче одномерной минимизации. Примеры.

28. Метод деления отрезка пополам решения задачи одномерной минимизации.

29. Метод золотого сечения решения задачи одномерной минимизации.

30. Обоснование и алгоритм метода ломаных решения задачи одномерной минимизации. Пример.

31. Обоснование сходимости метода ломаных решения задачи одномерной минимизации

32. Алгоритм метода скорейшего спуска решения задачи многомерной минимизации.

33. Алгоритмы метода условного градиента и метода проекции градиента решения задачи многомерной условной минимизации.

34. Алгоритм метода покоординатного спуска решения задачи многомерной минимизации. Геометрическая иллюстрация.

35. Сходимость метода скорейшего спуска.

36. Постановка простейшей задачи вариационного исчисления. Примеры.

37. Метод вариаций Лагранжа.

38. Уравнение Эйлера.

39. Случаи интегрируемости уравнения Эйлера. Примеры.

40. Задача вариационного исчисления с незакрепленными концами и фиксированным отрезком интегрирования.

41. Задача вариационного исчисления с незакрепленными концами и нефиксированным отрезком интегрирования.

42. Задача вариационного исчисления с движущимся по кривой концом.

43. Примеры задач динамического программирования, их особенности.

44. Принципы динамического программирования и функциональные уравнения Беллмана.

45. Постановка задачи оптимального быстродействия. Принцип максимума Понтрягина.

46. Достаточные условия в линейной задаче оптимального быстродействия.

47. Пример решения задачи оптимального быстродействия.

1. Понятие реш задач мат программирования. Постановка задач линейного программирования. Примеры. 1.

Пусть на некотором мн-ве XRⁿ задана скалярная ф-я f(x), точки xX назыв допустимыми, а X – допустимым, f(x) – целевая ф-я.

Задача мат-го программирования (ЗМП) заключ в нахождении min ф-ии f(x), если xX. (1)

Под реш ЗМП понимают:

1. найти точку min ф-ии f(x) на мн-ве X, т.е. найти x^*X:

f(x^*) <= f(x), xX (2) или x^*X: f(x^*) = min_xX f(x) (3)

или x^* = Argmin_xX f(x) (4)

2. найти точную нижнюю грань ф-и f(x): inf_xX f(x) = f_* (5)

Пусть X_* = {xX: f(x) = f_* }

Если X_* , то найдя одно из значений (2) – (4), то автоматчески решается зад (5)

Если X_* =, то (5) приобретает самостоятельное решение

3. Убедиться в том, что ф-я f(x) неограниченна снизу на X, т.е f_* = -

4. убедиться в том что X=

В случаях 3) – 4) говорят что задача (1) не имеет решений

ПОСТАНОВКА ЗЛП

Общая ЗЛП формулируется следующим образом:

(x) = c₁x₁ + c₂x₂ + … + c_nx_n  min

при условиях x_i  0, iI{1,…,n}

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n  b₁

…

a_m1x₁ + a_m2x₂ + … + a_mnx_n  b_m

a_m+1,1x₁ + a _m+1,2x₂ + … + a _m+1,nx_n = b_m+1

…

a_s,1x₁ + a _s,2x₂ + … + a _s,nx_n = b_s

где c_i a_ij b_i – заданные числа причем не все c_i , a_ij = 0

Мн-во I м.б. , а может совпадать со всем мн-вом индексов. Не искл случай, когда m=s, т.е. когда нет огран-й рав-в, или m=0, т.е. когда нет ограничений нерав-в

Введем в рассм векторы:

с = (с₁, … , с_n) a_i = (a_i1, … , a_in) x = (x₁, … , x_n)

Тогда Г(x) = (c,x)  min

xX = {xRⁿ : x_i  0, iI, a_ix  b_i, i=1,m , a_ix = b_i, i=m+1,s}

или

Г(x) = (c,x)  min _ _

xX = {xRⁿ : x_i  0, iI, Ax  B , Ax = B}

a₁₁ … a_1n _ a_m+1,1 … a_m+1,n

A = ( … ) A = ( … )

a_m1 … a_mn a_s1 … a_sn

b₁ _ b_m+1

B = ( …) B = ( … )

b_m b_s _

Вектор c – вектор стоимости, вектор [BB] – вектор ресурсов,

матрица [A] – матрица условий . Вектор x – вектор планов

A

2 . Основные формы задача лп. Правило сведения злп к канон форме. Геометр интерпр злп. Понятие угловой точки мн-ва

В ЛП выделяют 2 основных формы задачи:

1) Каноническая форма ЗЛП

Г(x)=(c,x)max

xX={xRⁿ: x0, Ax=b; b0}

2) Нормальная форма ЗЛП

Г(x)=(c,x)max

xX={xRⁿ: x0, Axb; b0}

Можно перейти от одной задачи к другой.

Любая ЗЛП сводится к канонической с помощью:

1. если в исходной постановке ищется min целевой ф-ии (c,x)  min, то –(c,x) превращает исх задачу в задачу о max.

2. если b_i<0, i{m+1,…,s}, то соотв ограничения умножаем на (-1), чтобы превратить правую часть в положительную.

3. если m0, т.е. в исх постановке присутствуют огранич нер-ва то вводятся x_n+10, … ,x_n+m0 и ограничение нер-ва приводят к виду

(a_i,x) + x_n+i = b_i , b_i0 и -(a_i,x) - x_n+i = -b_i , b_i<0

переменные x_n+1, … ,x_n+m назыв свободными, они характеризуют величину неиспользованного ресурса.

4. если на некот переменную не наложено ограничение на знак, то делают замену x_i = x_i’ + x_i’’, x_i’0, x_i’’0

c соотв изменением целевой ф-и, если x_i­<0 то замена x_i = -x_i

5. в некот задачах м присутствовать двусторонние прямые ограничения 0x_id_i , тогда правое нер-во относится к основным ограничениям и применяют 3)

6. двусторонние прямые ограничения вида c_ix_id_i сводятся к

0 x_i-c_i  d_i-c_i или 0 x_i’  d_i-c_i с соотв изменениями в целевой ф-и

При помощи данных преобразований произв ЗЛП сводится к канон форме. Решение этих задач эквивалентны, т.к. из реш одной задачи легко получить реш второй задачи.

КРИТЕРИЙ УГЛОВОЙ ТОЧКИ

Рассм задачу

(c,x)max, xX

X={xRⁿ : Ax=b, b0, x0}

УГЛОВОЙ т мн-ва XRⁿ назыв точка xX, кот не может быть представлена как точка отрезка x()=x₁+(x₂-x₁), (0,1), x₁,x₂X для любых произв т. x₁,x₂X

ТЕОРЕМА (критерий угл т)

Пусть A_j, j=1,n столбцы А, тогда осн ограничения м записать в виде A₁x₁+…+A_n­x_n=b. Предположим что А имеет ранг r, т.е. rangA=r>0 Для того чтобы xX была угловой точкой  чтобы существовали номера j₁,…,j_r , 1j_pn, что верно:

A_j1x _j1+…+A _{jr ­}x _jr = b,

x _jp >0, p{1,..,r} ,

A _j1,…, A _jr ЛНЗ

A _j1,…, A _jr назыв базисом угловой точки

x _j1,…, x _jr назыв базисными корд, а остальные коорд – небазис.

Если все базисные коорд т. x строго >0 , то x – невырожденная, иначе вырожденная.

Следствие. Если т. xX невыр. угловая т мн-ва X, то у нее

базис. У вырожд угловой т  несколько базисов.