Общее уравнение в матричном виде

Общее уравнение кривой можно записать в матричном виде

Каноническое уравнение любой невырожденной кривой второго порядка при помощи подходящего преобразования начала координат может быть приведено к виду

Центр линии второго порядка

Линия, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением второй степени, называется линией второго порядка. Общее уравнение второй степени (с двумя переменными) принято записывать в виде:

 (1)

Центром некоторой линии называется такая точка плоскости, по отношению к которой точки этой линии расположены симметрично парами. Линии второго порядка, обладающие единственным центром, называются центральными.

Точка S( ,  ) является центром линии, определяемой уравнением (1), в том и только в том случае, когда ее кординаты удовлетворяют уравнениям:

,   (2)

Обозначим через   определитель этой системы:

.

Величина   составляется из коэффициентов при старших членах уравнения (1) и называется дискриминантом старших членов этого уравнения.

Если  , то система (2) является совместной и определенной, то есть имеет решение и притом единственное. В этом случае координаты центра могут быть определены по формулам

,  .

Неравенство   служит признаком центральной линии второго порядка.

Если S( ,  ) - центр линии второго порядка, то в результате преобразования координат по формулам

, 

(что соответствует переносу начала координат в центр линии) ее уравнение примет вид

где A, B, C те же, что в данном уравнении (1), а   определяется формулой

.

В случае   имеет место также следующая формула:

,

где

.

Определитель   называется дискриминантом левой части общего уравнения второй степени.

Комплексные и натуральные числа

Ко́мпле́ксные^[1] чи́сла (устар. Мнимые числа^[2]), — расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается  . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма  , где   и   — вещественные числа,   — мнимая единица^[3].

войства комплексных чисел

Ниже перечисленные свойства проверяются исходя из определения операций сложения и умножения комплексных чисел.

1)  z1 +z2 = z1 + z2

2)  z1 +( z2 + z3) = (z1 + z2) + z3

3)  обозначим  = (0, 0), тогда для любого z будет выполнено z +   = z

4)  "zÎC можно определить противоположный элемент -z=(-x,-y), который обладает следующим свойством z+(-z)=q

Можно доказать, что  - единственный, противоположный для "z также единственен. Теоремы о среднем Интегральное исчисление - курс лекций

5)  z1 z2 = z2 z1

6)  z1 ( z2 z3) = (z1 z2) z3 Задания для подготовки к практическому занятию Вопросы и задачи Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

7)  определим  =(1,0) , тогда "z: z  = z

8)  "z¹ $ (обратный элемент) z-1: z z-1 = 

  Существование обратного числа. Пусть z=(x,y). Будем искать число

z-1=(u,v), удовлетворяющее нужным свойствам: xu - yv=1,yu+xv=0 (z z-1 =  ). Решая эту систему, получим u=x/(x2+y2),v=-y/(x2+y2).

Частное двух комплексных чисел определяется по формуле w/z=wz-1.

9)  z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 Математика решение задач Теория поля

Элементы теории множеств Множество относится к числу первичных, неопределяемых понятий математики. Под словом «множество» обычно понимается совокупность тех или иных объектов, объединенных каким-либо общим признаком или свойством. Примеры. Множество товаров и услуг, бюджетное множество, множество производственных возможностей, множество ресурсов производства, множество действительных чисел, множество точек прямой, множество точек на плоскости, множество векторов, множество функций, множество функций одной переменной, множество корней квадратного уравнения, множество точек пространства и т. д. Определение. Объекты, из которых состоит множество, называют элементами этого множества. Для обозначения множеств обычно используются заглавные буквы латинского алфавита {А, В, С, Д...), а для обозначения элементов множеств -строчные буквы: а, Ь, с, d... Если объект а является элементом множества А, то пишут: снеА (это произносится так: «а принадлежит множеству А», «а является элементом множества Л»). Если объект а не является элементом множества А, то пишут: а<£А (читается: «а не принадлежит множеству Л»)

Алгебраическая форма

Запись комплексного числа   в виде  ,  , называется алгебраической формой комплексного числа.

Сумма и произведение комплексных чисел могут быть вычислены непосредственным суммированием и перемножением таких выражений, как обычно раскрывая скобки и приводя подобные, чтобы представить результат тоже в стандартной форме (при этом надо учесть, что  ):

Действия над комплексными числами

• Сравнение

 означает, что   и   (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части).

• Сложение

• Вычитание

• Умножение

• Деление

тригонометрическая и показательная формы

Если вещественную   и мнимую   части комплексного числа выразить через модуль   и аргумент   ( ,  ), то всякое комплексное число  , кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме

Также может быть полезна показательная форма записи комплексных чисел, тесно связанная с тригонометрической через формулу Эйлера:

где   — расширение экспоненты для случая комплексного показателя степени.

Отсюда вытекают следующие широко используемые равенства:

Формула Муавра и извлечение корней из комплексных чисел

Основная статья: Формула Муавра

Корни пятой степени из единицы(вершины пятиугольника)

Эта формула позволяет возводить в целую степень ненулевое комплексное число, представленное в тригонометрической форме. Формула Муавра имеет вид:

где   — модуль, а   — аргумент комплексного числа. В современной символике она опубликована Эйлером в 1722 году. Приведенная формуле справедлива при любом целом n, не обязательно положительном.

Аналогичная формула применима также и при вычислении корней  -ой степени из ненулевого комплексного числа:

Отметим, что корни  -й степени из ненулевого комплексного числа всегда существуют, и их количество равно  . На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного  -угольника, вписанного в окружность радиуса   с центром в начале координат (см. рисунок).

Натуральные числа - числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления), т.е натуральные числа - это естественные числа

Аксио́мы Пеа́но — одна из систем аксиом для натуральных чисел.

Аксиомы Пеано позволили формализовать арифметику. После введения аксиом стали возможны доказательства многих свойств натуральных и целых чисел, а также использование целых чисел для построения формальных теорий рациональных и вещественных чисел.

Введём функцию  , которая сопоставляет числу   следующее за ним число.

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

Или так:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Математическая индукция — в математике — один из методов доказательства. Используется, чтобы доказать истинность некоего утверждения для всех натуральных чисел. Для этого сначала проверяется истинность утверждения с номером 1 — база(базис) индукции, а затем доказывается, что, если верно утверждение с номером n, то верно и следующее утверждение с номером n + 1 — шаг индукции, или индукционный переход.