8.2. Свойства смешанного произведения
1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей, т. е. (а х b)•с=(b х с)•а=(с х а)•b .
Действительно, в этом случае не изменяется ни объем параллелепипеда, ни ориентация его ребер
2. Смешанное произведение не меняется при перемене местами знаков вкторного и скалярного умножения, т. е. (ахb )•с=а*(bx с).
Действительно, (ахb )•с=±V и а•(b хс)=(b хс)•а=±V . Знак в правой части этих равенств берем один и тот же, так как тройки векторов а , b , с и b , с , а — одной ориентации.
Следовательно, (a хb )•с=a (b хс). Это позволяет записывать смешанное произведение векторов (а х b)с в виде abc без знаков векторного, скалярного умножения.
3. Смешанное произведение меняет свой знак при перемене мест любых вух векторов-сомножителей, т. е. abc =-acb , abc =-bac , abc =-cba .
Действительно, такая перестановка равносильна перестановке сомножителей в векторном произведении, меняющей у произведения знак.
4.Смешанное произведение ненулевых векторов а, b и с равно нулю огда и только тогда, когда они компланарны.
Если abc =0 , то а, b и с— компланарны.
Допустим, что это не так. Можно было бы построить параллелепипед с объемом V¹ 0. Но так как abc =±V , то получили бы, что abc¹0 . Это противоречит условию: abc =0.
Обратно, пусть векторы а, b , с — компланарны. Тогда вектор d =ахb будет перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы а, b ,с, и следовательно, d ^с. Поэтому d •с=0, т. е. abc =0
Прямая и плоскость
Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка
Ах + Ву + С = 0,
Способы задания : Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Уравнение
прямой линии, пересекающей ось 
в
точке 
и
образующей угол 
с
положительным направлением оси 
:
Коэффициент 
называется угловым
коэффициентом прямой.
В этом виде невозможно представить
прямую, параллельную оси 
Получение уравнения прямой в отрезках
]Уравнение прямой в отрезках
Уравнение
прямой линии, пересекающей ось
в
точке 
и
ось
в
точке
:
В этом виде невозможно представить прямую, проходящую через начало координат.
Нормальное уравнение прямой
где 
—
длина перпендикуляра, опущенного на
прямую из начала координат, а 
—
угол (измеренный в положительном
направлении) между положительным
направлением оси
и
направлением этого перпендикуляра.
Если 
,
то прямая проходит через начало координат,
а угол 
задаёт
угол наклона прямой.
Вывод нормального уравнения прямой
Если
прямая задана общим уравнением 
то
отрезки 
и 
отсекаемые
ею на осях, угловой коэффициент 
расстояние
прямой от начала координат 
и 
выражаются
через коэффициенты 
, 
и 
следующим
образом:
Во
избежание неопределённости знак перед
радикалом выбирается так, чтобы
соблюдалось условие 
В
этом случае
и
являются
направляющими косинусами положительной
нормали прямой — перпендикуляра,
опущенного из начала координат на
прямую. Если 
то
прямая проходит через начало координат
и выбор положительного направления
произволен.
Уравнение прямой, проходящей через две заданные несовпадающие точки
Если
заданы две несовпадающие точки с
координатами 
и 
,
то прямая, проходящая через них, задаётся
уравнением
или
или в общем виде
Получение векторного параметрического уравнения прямой
Векторное параметрическое уравнение прямой
Векторное
параметрическое уравнение прямой
задается вектором 
конец
которого лежит на прямой, и направляющим
вектором прямой 
Параметр 
пробегает
все действительные значения.
Параметрические уравнения прямой
Параметрические уравнения прямой могут быть записаны в виде:
где
—
производный параметр, 
—
координаты 
и 
направляющего
вектора прямой. При этом
Смысл параметра аналогичен параметру в векторно-параметрическом уравнении.
Каноническое уравнение прямой
Каноническое уравнение получается из параметрическиx уравнений делением одного уравнения на другое:
Вывод
где 
—
координаты
и
направляющего
вектора прямой, 
и 
координаты
точки, принадлежащей прямоУравнение
прямой в полярных координатах
Уравнение
прямой в полярных
координатах 
и
:
или
Тангенциальное уравнение прямой
Тангенциальное уравнение прямой на плоскости:
Числа 
и 
называютсяеё тангенциальными, линейными или плюккеровыми координатами
Уравнения прямой в пространстве
Векторное параметрическое уравнение прямой в пространстве:
где 
— радиус-вектор некоторой
фиксированной точки 
лежащей
на прямой,
—
ненулевой вектор, коллинеарный этой
прямой (называемый её направляющим
вектором), 
—радиус-вектор произвольной
точки прямой.
Параметрическое уравнение прямой в пространстве:
где 
— координаты некоторой
фиксированной точки
лежащей
на прямой; 
— координаты
вектора, коллинеарного этой
прямой.
Каноническое уравнение прямой в пространстве:
где — координаты некоторой фиксированной точки лежащей на прямой; — координаты вектора, коллинеарного этой прямой.
Общее векторное уравнение прямой[уточнить] в пространстве:
Поскольку прямая является пересечением двух различных непараллельных плоскостей, заданных соответственно общими уравнениями:
и 
то уравнение прямой можно задать системой этих уравнений:
Векторное уравнение прямой в пространстве[1]:196-199:
Уравнение прямой в пространстве можно записать в виде векторного произведения радиуса-вектора произвольной точки этой прямой на фиксированный направляющий вектор прямой :
где
фиксированный вектор 
,
ортогональный вектору
,
можно найти, подставляя в это уравнение
радиус-вектор какой-нибудь одной
известной точки прямой.
В координатах (параметрические уравнения):
Канонические уравнения прямой
Уравнения прямой по двум точкам
Прямая как линия пересечения двух плоскостей
при условии, что не имеют места равенства
Направляющий вектор такой прямой
Плоскость — поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые её точки;
тремя точками, не лежащими на одной прямой линии (рис.41);
а) модель б) эпюр
Рисунок 41. Плоскость, заданная тремя точками, не лежащими на одной прямой
2. прямой линией и точкой, не принадлежащей этой прямой (рис.42);
а) модель б) эпюр
Рисунок 42. Плоскость, заданная прямой линией и точкой, не принадлежащей этой линии
3. двумя пересекающимися прямыми (рис.43);
а) модель б) эпюр
Рисунок 43. Плоскость, заданная двумя пересекающимися прямыми
4. двумя параллельными прямыми (рис.44);
а) модель б) эпюр
Рисунок 44. Плоскость, заданная двумя параллельными прямыми
5. О положении плоскости относительно плоскостей проекций удобно судить по её следам (рис.45).
Следом плоскости называется прямая линия, по которой плоскость пересекается с плоскостью проекций. В зависимости от того, какую плоскость проекций пересекает данная a плоскость различают горизонтальный aП1, фронтальный aП2 и профильный aП3 следы.
а) модель б) эпюр
Рисунок 45. Плоскость, заданная следами
Следы плоскости общего положения пересекаются попарно на осях в точках ax,ay,az. Эти точки называются точками схода следов, их можно рассматривать как вершины трехгранных углов, образованных данной плоскостью с двумя из трех плоскостей проекций.
Каждый из следов плоскости совпадает со своей одноименной проекцией, а две другие разноименные проекции лежат на осях.
Уравнения линий в пространстве
Линию в пространстве
можно определить в виде линии пересечения
двух поверхностей. Если линии определены
уравнениями
и
,
то система этих уравнений задаёт
уравнения линии пересечения поверхностей:
Так, уравнения осей координат:
,
, 
.
Перейдём к материалу о прямой в пространстве.