Задание 2. Линии второго порядка

Уравнение кривой привести к каноническому виду и построить линию.

Таблица 3 – Данные задания 2 «Линии второго порядка»

Задача №		Уравнения кривых		Задача №		Уравнения кривых
1	а			11	а
	б				б
2	а			12	а
	б				б
3	а			13	а
	б				б
4	а			14	а
	б				б
5	а			15	а
	б				б
6	а			16	а
	б				б
7	а			17	а
	б				б
8	а			18	а
	б				б
9	а			19	а
	б				б
10	а			20	а
	б				б

Пример 2. Уравнение кривой привести к каноническому виду и построить линию.

1. х² + 4у² - 4х + 16у - 16 = 0;

2. 9x²-4y²-54x-8y+41 = 0.

Решение:

1. х² + 4у² - 4х + 16у - 16 = 0. Приведём данную кривую к каноническому виду и построим.

Выделим полные квадраты при х и у:

(х²-4х+4)-4+4(у²+4у+4)-16-16=0 , (х-2)²+4(у+2)²-36=0, (х-2)²+4(у+2)²=36, .

Получили каноническое уравнение эллипса вида

. (7)

Центр эллипса лежит в точке O^/(α,β), оси параллельны осям координат ОХ и OY. Точка O^/(2,-2) – центр данного эллипса. Отложим от точки O^/ отрезки в направлениях, парал­лельных ОХ и OY, CС^/=2 =12 ВВ^/=2 =6 (рисунок 2).

Рисунок 2 ─ Эллипс

2) 9x²-4y²-54x-8y+41 = 0. Приведём данную кривую к каноническому виду и построим.

Выделим полные квадраты при х и у:

9(х²-6х+9)-81-4(у²+2у+1)+4+41 = 0 , 9(х-3)²-4(у+1)²-36 = 0,

9(х-3)²─ 4(у+1)² = 36 ,

Получили каноническое уравнение гиперболы вида

. (8)

Центр гиперболы лежит в точке А(α,β), оси параллельны осям координат. Центр данной гиперболы лежит в точке А(3,-1), =2, =3. Построим основной прямоугольник гиперболы, откладывая от точки А отрезки =2, =3 в направлениях, параллельных основным осям координат. BB^/=2∙ =4, СС^/=2∙ =6. Диагонали прямоугольника будут являться асимптотами. Вершины гиперболы – точки B и B^/ (рисунок 3).

Рисунок 3 ─ Гипербола

Задание 3. Системы линейных уравнений

1) Решить систему линейных уравнений матричным способом.

2) Найти базисное решение системы уравнений методом Жордана – Гаусса.

Таблица 4 – Данные задания 3 « Системы линейных уравнений»

№	Системы уравнений
1	1) 2)
2	1) 2)
3	1) 2)
4	1) 2)
5	1) 2)
6	1) 2)
7	1) 2)
8	1) 2)
9	1) 2)
10	1) 2)
11	1) 2)
12	1) 2)
13	1) 2)
14	1) 2)
15	1) 2)
16	1) 2)
17	1) 2)
18	1) 2)
19	1) 2)
20	1) 2)

Пример 3

1) Решить систему уравнений матричным способом.

Решение. Обозначим X = − матрица-столбец неизвестных переменных;

− матрица коэффициентов при неизвестных или основная матрица;

− матрица свободных членов системы уравнений.

Систему уравнений можно представить в матрич­ном виде А ∙ X = А₀.

Тогда решение системы имеет вид:

Х = А^-1 ∙ А₀, (9)

где А^-1 – обратная матрица к квадратной матрице А = .

Формула для вычисления обратной матрицы

А_-^-1= . (10)

– определитель матрицы А, который вычисляется по формуле

Вычислим определитель матрицы системы:

Т.к. определитель матрицы А не равен 0, то матрица А невырожденная , для неё существует обратная матрица A^-1.

Вычислим алгебраические дополнения для каждого элемента основной матрицы по формуле , где – минор того же элемента .

Минор элемента – это определитель, полученный из данного определителя вычеркиванием i-й строки и j-гo столбца.

Таким образом, по формуле (10) имеем следующую обратную матрицу:

Согласно формуле (9), получаем:

Проверка:

Подставим найденные числа вместо переменных в исходную систему уравнений:

Получили верные числовые равенства, следовательно, решение найдено верно.

Ответ: .

Приведение системы линейных уравнений к системе с базисом методом Жордана – Гаусса

Система уравнений называется системой с базисом, если каждое уравнение системы содержит переменную с коэффициентом 1, отсутствующую в других уравнениях.

Например, рассмотрим систему уравнений с базизом:

Переменные – базисные, – свободные. Базисное решение .

Алгоритм метода Жордана – Гаусса

1. Составляем таблицу Жордана – Гаусса.

2. Выбираем разрешающий элемент из коэффициентов при неизвестных, i-я строка и j-й столбец будут называться разрешающими.

3. Элементы i-й разрешающей строки делят на разрешающий элемент и полученные частные записывают в i-ю строку следующей таблицы.

4. Все элементы j-го столбца следующей таблицы обращаются в 0, кроме элемента, стоящего на месте разрешающего, он равен 1.

5. Все остальные элементы следующей таблицы вычисляются по “правилу прямоугольников”:

. (11)

2) Найти базисное решение системы уравнений:

Составим таблицу Жордана – Гаусса.

Столбец содержит свободные члены соответствующих уравнений, столбцы содержат коэффициенты при соответствующих переменных в уравнениях. В столбец “Б” будем записывать базисные переменные соответствующих уравнений.

Б
	1 2 0	2 -1 3	-1 0 -2	-1 1 -1	-2 2 -2	2 -1 -1	таблица 1
	3 2 2	1 -1 2	-1 0 -2	0 1 0	0 2 0	1 -1 -2	таблица 2
	3 5 8	1 0 4	-1 -1 0	0 1 0	0 2 0	1 0 0	таблица 3
	1 5 2	0 0 1	-1 -1 0	0 1 0	0 2 0	1 0 0	таблица 4

1. Выбираем в таблице 1 разрешающий элемент, любой из коэффициентов, не равный нулю, например .

2. Элементы разрешающей строки делим на 1 и записываем полученные значения во второй строке таблицы 2.

3. В разрешающем столбце таблицы 2 остальные элементы обращаются в ноль. Во втором уравнении неизвестная становится базисной.

4. Оставшиеся элементы таблицы 2 находим по правилу прямоугольника.

Приведем расчёты некоторых из них:

, , ,

, , .

5. Повторяя алгоритм метода Жордана – Гаусса, перейдем к таблице 4. Полученная система уравнений является системой с базисом. Базисные переменные – , , , свободные ─ , .

Чтобы записать базисное решение, базисные переменные приравниваем к соответствующим свободным членам, свободные переменные ─ к нулю. Полученное базисное решение имеет вид .