7)Теорема Крамера о разрешимости системы n линейных уравнений с n переменными.

Формулы Крамера для решения СЛАУ с невыраженной квадратной матрицей

{ a₁₁x₁ + a₁₂x₂+……+ a_1n x_n = b₁

{a₂₁x₁ + a₂₂ x₂ + … + a_2nx_n = b₂

{………………………… 

{a _n1x₁ + a _n2 x₂ + … + a_nnx_n = b_n

(a₁₁ a₁₂ ……a_1n ) (x₁) (b₁)

A = (a₂₁x₁ a₂₂ …a_2n) X = (x₂ ) B = (b₂)

…………. (…) (…)

(a _n1 a _n2 … a_nn (x _n) (b_n)

A*X = B ; | A| ═>  A ^-1 ═> X = A ^-1* B

(x₁) (A ₁₁ A _{21 ……} A _n1 ) (b₁)

X = (x₂) = 1/∆ * (A ₂₁ A _{22 ……} A _n2 ) * (b₂) =

(...) (…. …. …..) (…)

(x _n) (A _1n A _{2n ……} A _nn) (b_n)

(b₁ A ₁₁ b₂ A _{21 …..} b_n A _n1) (∆₁)

= 1/∆* (b₁ A ₁₂ b₂ A _{22 …..} b_n A _n2) = 1/∆* (∆₂)

(…… ….. …… ) (…)

(b₁ A _1n b₂ A _{2n ….} b_n A _nn) (∆_n)

A_{i J –} алгебраическое дополнение элемента a _iJ в матрице A; ∆ = det A,

∆_k – D ( A ₁; A ₂; ….A_k-1;B; A _k+1 ; ….; A_n) – определитель которой получается, если в матрице A заменить k –ый столбец столбцом правых частей B

Формулы Крамера:

Xk = ∆k / ∆ , k = 1, 2 ….n

Теорема: СЛАУ с невырожденной квадратной матрицей имеет и при том единственное решение, определяемое по формулам Крамера. Итак, если ∆ ≠ 0, то СЛАУ с квадратной матрицей имеет единственное решение. Если ∆ = 0 и хотя бы один ∆_k ≠ 0, то СЛАУ с квадратной матрицей не имеет ни одного решения – несовместима.

8) Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. (отсюда читай!!!и чуточку из моей)

Метод Гаусса приведения системы к ступенчатому виду применяется ксистемем линейных уравнений с с произвольным числом уравнений и неизвестных. Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных.

Рассмотрим систему:

{ a₁₁x₁ + a₁₂x₂+……+ a_1n x_n = b₁

{a₂₁x₁ + a₂₂ x₂ + … + a_2nx_n = b₂

{………………………… 

{a _m1x₁ + a _m2 x₂ + … + a_mnx_n = b_m

Разделим обе части 1-го уравнения на а₁₁≠ 0, затем умножаем на а₂₁ и вычитаем из второго уравнения, затем умножаем на а₃₁ и вычитаем из третьего уравнения и т.д.

Получим:

{ x₁ + d₁₂x₂+ d₁₃x₃ + …..+ d_1n x_n = d₁

{ d₂₂ x₂ + d₂₃x₃… + d _2nx_n = d₂

{………………………… 

{ d _m2x₂ + d _m x₃ + … + d_mnx_n = d_m , где d_iJ = a_1J / a₁₁, j = 2, 3, …n +1

d_iJ = a_1J - a_i1 x d_1J

Далее, повторяем это же действие для второго уравнения системы, потом для третьего и т.д.

9) Определение комплексного числа. Операции над комплексными числами.

Определение комплексного числа расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма x+iy , где x и y - вещественные числа, i- мнимая единица

Операции над комплексными числами

1. Сравнение a+bi=c+di означает, что a=c и b=d (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части)

2. Сложение (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

3. Вычитание (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i

4. Умножение (a+bi)*(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i

5. Деление