Лекция 3. Основные свойства многочленов над полем.

3.1. Множества с алгебраическими операциями.

Пусть - произвольное множество. Бинарной (двуместной) алгебраической операцией (или законом композиции) на называется отображение . Здесь любой упорядоченной паре ставится в соответствие определенный элемент того же множества . Иногда вместо пишут , а еще чаще бинарную операцию на обозначают каким-нибудь специальным символом: *, °, ⋅ или +.

На множестве может быть задано, вообще говоря, несколько различных операций. Желая выделить одну из них, скажем, , используют скобки и говорят, что операция определяет на алгебраическую структуру. Операции в алгебраической структуре могут быть согласованы, т.е. одна операция может удовлетворять некоторым требованиям, по отношению к ее действию на результаты применения другой.

3.2. Полугруппы и моноиды.

Бинарная операция на множестве называется ассоциативной, если для всех . Она также называется коммутативной, если . Те же названия присваиваются и соответствующей алгебраической структуре . Требования ассоциативности и коммутативности независимы.

Множество с заданной на нем бинарной ассоциативной операций называется полугруппой.

Элемент называется единичным (или нейтральным) относительно рассматриваемой бинарной операции , если для всех . Если - еще один единичный элемент, то . Следовательно, в алгебраической структуре может существовать не более одного единичного элемента.

Полугруппу с единичным элементом принято называть моноидом.

Элемент моноида называется обратимым, если найдется элемент , для которого . Обратный к обозначается через . Такое обозначение корректно, т.к. обратный элемент единственен. Действительно, . Запись операции в виде называется мультипликативной, а сама операция называется умножением.

Заметим, что при мультипликативной записи, знак операции часто опускается: .

3.3. Группы.

Моноид , все элементы которого обратимы, называется группой. Другими словами, предполагается выполнение следующих аксиом:

1. на множестве определена бинарная операция ;

2. операция ассоциативна;

3. во множестве относительно существует нейтральный элемент;

4. для каждого существует обратный.

Группа называется конечной, если число ее элементов конечно. Для обозначения числа элементов в группе используются обозначения , ,, .

Количество элементов конечной группы называется ее порядком.

Подмножество , группы называется подгруппой группы , если также является группой. Аналогично определяются подструктуры других алгебраических структур.

Подмножество , группы является подгруппой группы , тогда и только тогда, если обратный элемент к любому элементу из , а также произведение любых двух элементов из , принадлежат .

Теорема (Лагранж). Порядок конечной группы делится на порядок любой ее подгруппы.

Группа называется коммутативной (абелевой) если . Для абелевой группы часто используется запись операции в виде . В этом случае операция называется сложением. В общем случае, группы вида называются аддитивными.

Замечание. Пусть - натуральное число. Тогда для запись обозначает произведение равных сомножителей: . Полагая и , получаем возможность оперировать с показателями по обычным правилам алгебры.

Аналогичным образом, для аддитивной группы, исходя из суммы равных сомножителей: , можно ввести операцию умножения элемента группы на целое число.

Определение. Группы и гомоморфны, если существует отображение , такое, что . Отображение называется гомоморфизмом групп.

Определение. Ядром гомоморфизма называется множество , являющееся прообразом единицы .

Определение. Группы и изоморфны, если существует гомоморфизм из в , причем отображение является взаимно однозначным.

Определение. Отображение является автоморфизмом группы , если отображение - изоморфизм.

Определение. Отображение является эндоморфизмом группы , если отображение -гомоморфизм.

3.4. Кольца.

Ассоциативным кольцом называется множество с двумя операциями, которые называются сложением и умножением и для которых выполняются следующие аксиомы.

1.Ассоциативнось сложения: .

2. Коммутативность сложения: .

3. Разрешимость уравнения для всех .

4. Ассоциативнось для умножения: .

5. Дистрибутивность при умножении слева: .

6. Дистрибутивность при умножении справа: .

Обычно под термином «кольцо» понимается ассоциативное кольцо.

Кольцо называется неассоциативным, если операция умножения не является ассоциативной. Кольцо называется коммутативным, если коммутативна операция умножения.

Аналогично группе, в кольце существует единичный элемент по сложению. Он называется нулем и часто записывается как число ноль.

Единичный элемент по умножению, со свойством , не обязательно существует. В случае его отсутствия, тем не менее, в кольце могут существовать несколько односторонних единичных элементов, левых или правых (но не одновременно). Умножение на эти элементы с соответствующей стороны не влияет на результат произведения. Если в кольце отсутствует единичный элемент по умножению, то кольцо называется кольцом без единицы.

Примером коммутативного кольца без единицы является множество четных чисел с обычными операциями сложения и умножения.

В кольце с единицей возможно существование элемента , обратного к элементу , с условием . Такие элементы называются обратимыми.

Множество обратимых элементов кольца с единицей составляет группу - т.н. мультипликативную группу кольца. Мультипликативная группа кольца называется группой единиц и обозначается или .

Примером коммутативного кольца с единицей является множество целых чисел. Группа единиц этого кольца состоит из двух элементов:.