Вопрос 13. Потенциальные кривые. Равновесие.

Потенциальная энергия взаимодействия тел или частиц зависит от их взаимного расположения, т. е. всегда является функцией коор­динат или иных параметров, характеризующих положение этих тел в пространстве. В простейших случаях потенциальная энергия мо­жет зависеть от одной-единственной координаты.

Пусть для определенности частицы отталкиваются с силой F. Под действием силы взаимодействия рас­стояние между ними увеличится на dx, т. е. будет совершена работа F dx. Это возможно за счет потенциальной энергии взаимодействия U, которая изменится на —dU (уменьшение энергии).

Таким образом, -dU=F dx, или F=-dU/dx

т. е. в случае потенциальных сил сила есть

производная от потен­циальной энергии по

параметру х с обратным знаком.

На потенциальной кривой имеются ямы, вершины, кру­тые и отлогие скаты и подъе­мы. Вид кривой позволяет сразу же указать, на каких участках пути совершается большая или меньшая работа, каков знак этой работы. Чем круче потенциальная кривая, тем больше сила, действую­щая на тело. В соответствии с известным геометрическим смыслом производной сила характеризуется тангенсом угла наклона касательной к потенци­альной кривой.

Справедливость формулы, связывающей потенциальную энер­гию и силу, вполне очевидна для тех частных случаев потенциаль­ной энергии, которые мы привлекли к рассмотрению. Для потен­циальной энергии тела у поверхности Земли

U = mgh и F = =-dU/dx =- mg;

для тела в поле тяготения в общем случае U=-γ(m1*m2/r)

Для тела, подвергающегося упругому взаимодействию: U=kx^2/2 и F=-dU/dx=-kx

Для электрического взаимодействия: U=-q1*q2/r и F=-dU/dr=-q1*q2/r^2

Последние точки, т. е. положения рав­новесия,— это дно потенциальной ямы и вершина потенциальной горы. Те положения, при которых потенциальная энергия макси­мальна, соответствуют неустойчивому равновесию, а дно потенци­альной ямы является положением устойчивого равновесия.

На проведенные горизонтальные прямые с ординатами ξ1 и ξ₂. Если $ есть полная энергия частицы, то из графика можно найти уже не только потенциальную энергию, но и кинетическую энергию как разность между ξ и U.

Движущаяся точка не может быть в тех положениях, при которых потенциальная энергия больше полной энергии. Таким образом, го­ризонтальная прямая ξ ограничивает возможные участки движения тела. В случае, если энергия выражается нижней прямой ξ1 У движущейся точки имеются два возможных интервала положений: она может находиться либо в потенциальной яме (и совершать в ней колебательные движения), либо на склоне правее точки A, где она будет двигаться вниз или вверх с соответствующим приобретением или потерей кинетической энергии.

А)груз на пружине б)для взимод.отдельных молекул в)потенциальный ящик

Билет 14 Сохранение импульса

Импульсом тела или материальной точки называют произведение массы точки на вектор скорости, p=mv(кол-во движения). Импульс p является, таким образом, векторной величиной. Если речь идет о системе тел или системе точек, то импульс такой системы равен геом. Сумме импульсов точек, составляющих систему:

P=P1+P2+…Pn

Основная особенность, делающая эту векторную величину интересной для физика, заключается в том, что в замкнутой системе вектор P не изменяется, какие бы движения не происходили внутри системы. Это положение носит название закон сохранения импульса.

Закон сохранения импульса следует непосредственно из законов Ньютона. Для каждого из тел, входящих в замкнутую систему, справедливо уравнение

d(mv)dt=F

или dp/dt=F

Сложим такие уравнения, записанные для всех тел системы. В правой части равенств стоят силы, действующие на данное тело со стороны остальных. Скажем, сила, действующая на первое тело, равная сумме сил, действующих на него со стороны второго, третьего и т.д. тел. Пользуюсь двойными индекса это можно записать так:

F12+F13+F14+..Совершенно аналогично можно записать выражение силы, действующей на второе тело: F21+F22+F23+..на третье:F31+F3+F33+…и т.д.

Не трудно сообразить, что при сложении первые части дают ноль. Каждому слагаемому одной строки всегда найдется в другой строке ему равное и противоположное по знаку в соответствии с правилом действия и противодействия. Так,сила F12 даст ноль в сложении c F21, сила F13-в сложении с F31 и т.д.

Поэтому в замкнутой системе имеет место равенство:

dp1/dt+dp2/dt+dp3/dt+….=0

d/dt(p1+p2+p3+…)=0

или

p1+p2+p3+..=const

Это и есть закон сохранения импульса. Величины и направления импульсов отдельныз тел могут меняться, но их геом.сумма для замкнутой системы не меняется.

Билет 15 Центр инерции

ЦЕНТР ИНЕРЦИИ (центр масс) - геом. точка, положение к-рой характеризует распределение масс в теле или механич. системе. Координаты Ц. и. определяются ф-лами

или для тела при непрерывном распределении масс

где m_k - массы материальных точек, образующих систему; x_k, y_k, z_k- координаты этих точек; М =Sm_k - масса системы; r(х, у, z) - плотность; V-объём. Понятие Ц. и. отличается от понятия центра тяжести тем, что последнее имеет смысл только для твёрдого тела, находящегося в однородном поле тяжести; понятие же Ц. и. не связано ни с каким силовым полем и имеет смысл для любой механич. системы. Для твёрдого тела положения Ц. и. и центра тяжести совпадают.

При движении механич. системы её Ц. и. движется так, как двигалась бы материальная точка, имеющая массу, равную массе системы, и находящаяся под действием всех внеш. сил, приложенных к системе. Кроме того, нек-рые ур-ния движения механич. системы (тела) по отношению к осям, имеющим начало в Ц. и. и движущимся вместе с Ц. и. поступательно, сохраняют тот же вид, что и для движения по отношению к инерциальной системе отсчёта. Ввиду этих свойств понятие о Ц. и. играет важную роль вдинамике системы и твёрдого тела.

Билет 16

Момент инерции — мера инертности во вращательном движении вокруг оси. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).

Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит не только от массы, формы и размеров тела, но также от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела J_c относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:

Если   — момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела, то момент инерции относительно параллельной оси, расположенной на расстоянии   от неё, равен

,

где   — полная масса тела.

Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен:

Безразмерные моменты инерции планет и их спутников

Большое значение для исследований внутренней структуры планет и их спутников имеют их безразмерные моменты инерции. Безразмерный момент инерции тела радиуса r и массы m равен отношению его момента инерции относительно оси вращения к моменту инерции материальной точки той же массы относительно неподвижной оси вращения, расположенной на расстоянии r (равному mr²). Эта величина отражает распределение массы по глубине. Одним из методов её измерения у планет и спутников является определение допплеровского смещения радиосигнала, передаваемого АМС, пролетающей около данной планеты или спутника. Для тонкостенной сферы безразмерный момент инерции равен 2/3 (~0,67), для однородного шара — 0,4, и вообще тем меньше, чем большая масса тела сосредоточена у его центра. Например, у Луны безразмерный момент инерции близок к 0,4 (равен 0,391), поэтому предполагают, что она относительно однородна, её плотность с глубиной меняется мало. Безразмерный момент инерции Земли меньше, чем у однородного шара (равен 0,335), что является аргументом в пользу существования у неё плотного ядра. ^[3][4]

Момент инерции одного и того же тела будет различным, взависимости от расположения оси вращения. М омент инерции зависит и от направле­ния оси и от места ее прохождения. Если нет специальной оговорки, то предполагается, что ось вращения проходит через центр инер­ции тела.

Если ось вращения сдвинута по отноше­нию к центру инерции (рис. 27) на расстояние а, то новый момент инерции / будет отличен от момента инерции /₀ относительно па­раллельной оси, проходящей через центр инерции.

Момент инерции относительно оси, проходящей через центр инерции, всегда самый малый для данного направле­ния. В зависимости от симметрии тела его характеризуют одним, двумя или тремя моментами инерции по отношению к главным осям, проходящим через центр инерции.

Для всех тел вращения достаточно знать моменты инерции от­носительно двух осей. В случае тел произвольной формы для исчер­пывающей характеристики инерционных свойств тела при враще­нии вполне достаточно знать три момента инерции относительно осей, проходящих через центр инерции, а именно: наибольший момент инерции 1_макс, наименьший /_мин.

Единственное тело, у которого моменты инерции около всех осей одинаковы,— это шар. Для шара /=утг

У двухатомной молекулы момент инерции относительно оси, проходящей через атомы, равен нулю.

Билет 17