45 Вопрос . Понятие обыкновенной дроби. Рациональные числа.

Обыкновенные дроби

Наглядное представление дроби

Обыкновенная (или простая) дробь — запись рационального числа в виде или . Горизонтальная или косая черта обозначает знак деления, в результате чего получается частное. Делимое называется числителем дроби, а делитель — знаменателем.

Обозначения обыкновенных дробей

Есть несколько видов записи обыкновенных дробей в печатном виде:

• ½

• 1/2 или (наклонная черта называется «солидус»^[2])

• выключная формула: (горизонтальная черта называется Винкулиум (англ.))

• строчная формула:

Рациональное число

Рациональное число (лат. ratio — отношение, деление, дробь) — число, представляемое несократимой обыкновенной дробью ,  — целое число, а знаменатель  — натуральное число. Понятие дроби возникло несколько тысяч лет назад, когда, сталкиваясь с необходимостью измерять некоторые вещи (длину, вес, площадь и т.п.), люди поняли, что не удаётся обойтись целыми числами и необходимо ввести понятие доли: половины, трети и т.п. Дробями и операциями над ними пользовались, например, шумеры, древние египтяне и греки.

Множество рациональных чисел

Множество рациональных чисел обозначается и может быть записано таком в виде:

При этом оказывается, что разные записи могут представлять одну и ту же дробь, например, и , (все дроби, которые можно получить друг из друга умножением или делением на одно и то же натуральное число, представляют одно и то же рациональное число). Поскольку делением числителя и знаменателя дроби на их наибольший общий делитель можно получить единственное несократимое представление рационального числа, то можно говорить об их множестве как о множестве несократимых дробей со взаимно простыми целым числителем и натуральным знаменателем:

Здесь  — наибольший общий делитель чисел и .

Множество рациональных чисел является естественным обобщением множества целых чисел. Легко видеть, что если у рационального числа знаменатель , то является целым числом. Множество рациональных чисел располагается на числовой оси всюду плотно: между любыми двумя различными рациональными числами расположено хотя бы одно рациональное число (а значит, и бесконечное множество рациональных чисел). Тем не менее, оказывается, что множество рациональных чисел имеет счётную мощность (то есть все его элементы можно перенумеровать). Заметим, кстати, что ещё древние греки убедились в существовании чисел, не представимых в виде дроби (например, они доказали, что не существует рационального числа, квадрат которого равен 2).

Терминология

Формальное определение

См. также: Кольцо частных

Формально рациональные числа определяются как множество классов эквивалентности пар по отношению эквивалентности , если . При этом операции сложения и умножения определяются следующим образом:

• 

• 

[Связанные определения

Правильные, неправильные и смешанные дроби

Правильной называется дробь, у которой модуль числителя меньше модуля знаменателя. Правильные дроби представляют рациональные числа, по модулю меньшие единицы. Дробь, не являющаяся правильной, называется неправильной и представляет рациональное число, большее или равное единице по модулю.

Неправильную дробь можно представить в виде суммы целого числа и правильной дроби, называемой смешанной дробью. Например, . Подобная запись (с пропущенным знаком сложения), хотя и употребляется в элементарной арифметике, избегается в строгой математической литературе из-за схожести обозначения смешанной дроби с обозначением произведения целого числа на дробь.

[править] Высота дроби

Высота обыкновенной дроби — это сумма модуля числителя и знаменателя этой дроби. Высота рационального числа — это сумма модуля числителя и знаменателя несократимой обыкновенной дроби, соответствующей этому числу.

Например, высота дроби равна . Высота же соответствующего рационального числа равна , так как дробь сокращается на .

[править] Комментарий

Термин дробное число (дробь) иногда^{[уточнить]} используется как синоним к термину рациональное число, а иногда синоним любого нецелого числа. В последнем случае, дробные и рациональные числа являются разными вещами, так как тогда нецелые рациональные числа — всего лишь частный случай дробных.

Свойства

[ Основные свойства

Множество рациональных чисел удовлетворяют шестнадцати основным свойствам, которые легко могут быть получены из свойств целых чисел.^[1]

1. Упорядоченность. Для любых рациональных чисел и существует правило, позволяющее однозначно идентифицировать между ними одно и только одно из трёх отношений: « », « » или « ». Это правило называется правилом упорядочения и формулируется следующим образом: два положительных числа и связаны тем же отношением, что и два целых числа и ; два неположительных числа и связаны тем же отношением, что и два неотрицательных числа и ; если же вдруг неотрицательно, а  — отрицательно, то .

Суммирование дробей

2. Операция сложения. Для любых рациональных чисел и существует так называемое правило суммирования, которое ставит им в соответствие некоторое рациональное число . При этом само число называется суммой чисел и и обозначается , а процесс отыскания такого числа называется суммированием. Правило суммирования имеет следующий вид: .

3. Операция умножения. Для любых рациональных чисел и существует так называемое правило умножения, которое ставит им в соответствие некоторое рациональное число . При этом само число называется произведением чисел и и обозначается , а процесс отыскания такого числа также называется умножением. Правило умножения имеет следующий вид: .

4. Транзитивность отношения порядка. Для любой тройки рациональных чисел , и если меньше и меньше , то меньше , а если равно и равно , то равно .

5. Коммутативность сложения. От перемены мест рациональных слагаемых сумма не меняется.

6. Ассоциативность сложения. Порядок сложения трёх рациональных чисел не влияет на результат.

7. Наличие нуля. Существует рациональное число 0, которое сохраняет любое другое рациональное число при суммировании.

8. Наличие противоположных чисел. Любое рациональное число имеет противоположное рациональное число, при суммировании с которым даёт 0.

9. Коммутативность умножения. От перемены мест рациональных множителей произведение не меняется.

10. Ассоциативность умножения. Порядок перемножения трёх рациональных чисел не влияет на результат.

11. Наличие единицы. Существует рациональное число 1, которое сохраняет любое другое рациональное число при умножении.

12. Наличие обратных чисел. Любое ненулевое рациональное число имеет обратное рациональное число, умножение на которое даёт 1.

13. Дистрибутивность умножения относительно сложения. Операция умножения согласована с операцией сложения посредством распределительного закона:

14. Связь отношения порядка с операцией сложения. К левой и правой частям рационального неравенства можно прибавлять одно и то же рациональное число.

15. Связь отношения порядка с операцией умножения. Левую и правую части рационального неравенства можно умножать на одно и то же положительное рациональное число.

16. Аксиома Архимеда. Каково бы ни было рациональное число , можно взять столько единиц, что их сумма превзойдёт .