Схемы манипуляторов
Таблица К4.1
Вариант |
r1, м |
r2, м |
r3, м |
1, рад |
2, рад |
3, рад |
1 |
0,8 |
0,7 |
0,7 |
3,1 |
3,7 |
5,5 |
2 |
0,4 |
0,6 |
0,6 |
2,5 |
2,0 |
2,0 |
3 |
0,8 |
0,4 |
0,8 |
0,5 |
5,2 |
4,2 |
4 |
0,9 |
0,5 |
0,8 |
0,4 |
0,7 |
5,7 |
5 |
0,4 |
0,6 |
0,6 |
3,0 |
4,9 |
5,8 |
6 |
0,7 |
0,7 |
0,6 |
2,0 |
3,4 |
1,3 |
7 |
0,9 |
0,4 |
0,8 |
3,1 |
5,9 |
0,6 |
8 |
0,4 |
0,7 |
0,7 |
0,5 |
0,5 |
5,1 |
9 |
0,9 |
0,4 |
0,8 |
3,7 |
0,4 |
5,8 |
10 |
0,4 |
0,6 |
0,6 |
2,8 |
3,6 |
3,7 |
11 |
0,8 |
0,5 |
0,6 |
5,8 |
3,2 |
4,7 |
12 |
0,4 |
0,6 |
0,7 |
1,9 |
0,7 |
0,4 |
13 |
0,4 |
0,6 |
0,6 |
3,2 |
3,9 |
5,4 |
14 |
0,9 |
0,4 |
0,7 |
0,5 |
5,0 |
5,2 |
15 |
0,9 |
0,5 |
0,7 |
2,8 |
4,5 |
1,8 |
16 |
0,5 |
0,7 |
0,7 |
0,4 |
4,2 |
5,0 |
17 |
0,9 |
0,5 |
0,7 |
2,6 |
0,7 |
2,0 |
18 |
0,4 |
0,6 |
0,5 |
0,4 |
5,0 |
5,8 |
19 |
0,53 |
0,47 |
0,47 |
0,57 |
5,77 |
5,17 |
20 |
0,4 |
0,5 |
0,6 |
1,1 |
2,5 |
3,7 |
21 |
0,5 |
0,7 |
0,7 |
3,1 |
2,5 |
2,5 |
22 |
0,9 |
0,5 |
0,8 |
0,3 |
0,4 |
5,1 |
23 |
0,4 |
0,6 |
0,7 |
3,3 |
2,1 |
2,2 |
24 |
0,4 |
0,7 |
0,7 |
3,1 |
3,0 |
4,2 |
25 |
0,9 |
0,5 |
0,8 |
0,5 |
5,6 |
5,5 |
26 |
0,8 |
0,6 |
0,7 |
0,5 |
5,7 |
5,6 |
27 |
0,9 |
0,5 |
0,7 |
3,0 |
5,1 |
4,2 |
28 |
0,5 |
0,7 |
0,7 |
0,5 |
5,2 |
1,2 |
29 |
0,9 |
0,5 |
0,8 |
0,4 |
4,2 |
0,5 |
30 |
0,6 |
0,6 |
0,6 |
3,0 |
2,1 |
0,7 |
Размеры звеньев: АВ = r1 = 0,7 м, BD = r2 = 0,5 м, DC = r3 = 0,8 м, значения углов, определяющих положения звеньев манипулятора в начальный момент времени (t = 0): 1 (0) = 0,5 рад; 2 (0) = 0,3 рад; 3 (0) = 1,0 рад.
Порядок расчета. Исходные соотношения для расчета получим, воспользовавшись векторным описанием геометрии механизма, расчленив его на две группы звеньев (рис. К4б и рис. К4в).
Рис. К4б
Рис. К4в
Из рис. К4б следует
(80)
Входящие сюда векторы
и
определяют положение точек А и Р
относительно неподвижного начала О1
системы координат хО1у. Векторы,
обозначенные двумя буквами, задают
положение точки, определяемой второй
из этих букв, относительно точки,
обозначенной первой буквой.
Продифференцировав равенство (80) по времени, получим
(81)
где обозначение
с одним индексом (Р или А) соответствует
значению абсолютной скорости точки Р
или А, а обозначение
с двумя индексами – относительной
скорости; например,
есть скорость точки в
во вращательном движении звена АВ
вокруг точки А.
Указанные скорости определяются
известными соотношениями:
(82)
где
,
– векторы угловых скоростей звеньев 1
и 2, направленные перпендикулярно
чертежу.
С учетом (82) равенство (81) будет иметь вид
(83)
Спроецировав векторное равенство (83) на координатные оси и учитывая, что АВ = r1, BD = DP = r2, получим два скалярных уравнения:
(84)
(85)
Так как точка Р, принадлежащая катку 2, является мгновенным центром скоростей, то VPx = VPy = 0. Кроме того, sin (3/2) = –1, cos (3/2) = 0 и, как следует из условий задачи, VAx = 0 и VАy = VA = Vsin pt. С учетом этих замечаний уравнения (84) и (85) принимают вид:
1 r1 sin 1 + 2 r2 (sin 2 1) = 0, (86)
1 r1 cos 1 + 2 r2 cos 2 + V sin pt = 0. (87)
Рис. К4в позволяет составить следующее векторное равенство:
после дифференцирования которого по времени получим
или
(88)
Спроецировав векторное равенство (88) на координатные оси и учитывая, что PD = r2 и DC = r3, находим:
VCx = VPx – 2 r2 sin(/2) – 3 r3 sin 3,
VCy = VPy + 2 r2 cos(/2) + 3 r3 cos 3.
В этих уравнениях VCx = 0, VPx = VPy = 0, VCy = VC, sin (/2) = 1, сos (/2) = 0. С учетом этих замечаний последние уравнения приобретают вид:
2 r2 + 3 r3 sin 3 = 0, (89)
3 r3 cos 3 VC = 0. (90)
Полученная система четырех линейных уравнений (86), (87), (89) и (90) позволяет определить четыре неизвестных 1, 2, 3 и VC.
Подставив в эти уравнения числовые значения заданных величин, получим систему уравнений:
0,7 sin 1 1 + 0,5 (sin 2 1) 2 = 0,
0,7 cos 1 1 + 0,5 cos 2 2 + 0,45 sin (1,87t) = 0,
(91)
0,5 2 + 0,8 sin 3 3 = 0,
0,8 cos 3 3 VC = 0.
Для проведения расчетов по формулам (91) с помощью универсальной математической системы MathCAD приведем эти уравнения к стандартной матричной форме:
A(1, 2, 3) X(t, 1, 2, 3) = B(t), (92)
где A(1, 2, 3) – матрица коэффициентов при 1, 2, 3 и VC; B(t) – матрица свободных членов; X(t, 1, 2, 3) – матрица-столбец неизвестных.
Расположим элементы матрицы столбца X(t, 1, 2, 3) в следующем порядке:
В этом случае матрица A(1, 2, 3) и столбец свободных членов B(t) таковы:
Выражение (92) можно записать как
(93)
Принимая во внимание, что
(94)
из (93) получаем систему дифференциальных уравнений вида
(95)
Для решения полученных уравнений используем функцию rkfixed(f0, t0, , n, D), возвращающую матрицу решений методом Рунге-Кутта. Задаем решение уравнений
z = rkfixed(f0, t0, , n, D),
где f0 – вектор начальных условий для углов 1(0), 2(0), 3(0); t0 – начальный момент времени; – конечный момент времени; n – число шагов; D – вектор правых частей дифференциальных уравнений (95).
В результате расчетов
получим:
– вектор значений времени;
– вектор значений 1;
– вектор значений 2;
– вектор значений 3
для каждого шага времени n.
Введя вспомогательные функции
,
,
,
,
определим векторы значений:
Ниже приведена программа расчета, а результаты решения по изложенному методу содержатся в табл. К4.2 и на рис. К4г.
Таблица К4.2
Результаты решения задачи
t |
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
VC |
0.000 |
0.500 |
0.300 |
1.000 |
0.0000 |
0.0000 |
0.0000 |
0.0000 |
0.070 |
0.500 |
0.300 |
1.000 |
–0.0549 |
–0.0523 |
0.0389 |
0.0168 |
0.140 |
0.496 |
0.296 |
1.003 |
–0.1093 |
–0.1029 |
0.0763 |
0.0328 |
0.210 |
0.489 |
0.289 |
1.008 |
–0.1627 |
–0.1495 |
0.1105 |
0.0472 |
0.280 |
0.477 |
0.279 |
1.016 |
–0.2146 |
–0.1904 |
0.1400 |
0.0590 |
0.350 |
0.462 |
0.265 |
1.026 |
–0.2647 |
–0.2240 |
0.1637 |
0.0679 |
0.420 |
0.444 |
0.250 |
1.037 |
–0.3123 |
–0.2492 |
0.1809 |
0.0736 |
0.490 |
0.422 |
0.232 |
1.050 |
–0.3567 |
–0.2655 |
0.1913 |
0.0762 |
0.560 |
0.397 |
0.214 |
1.063 |
–0.3972 |
–0.2727 |
0.1950 |
0.0759 |
0.630 |
0.369 |
0.195 |
1.077 |
–0.4331 |
–0.2711 |
0.1924 |
0.0730 |
0.700 |
0.339 |
0.176 |
1.090 |
–0.4635 |
–0.2612 |
0.1841 |
0.0681 |
0.770 |
0.306 |
0.157 |
1.103 |
–0.4878 |
–0.2441 |
0.1709 |
0.0616 |
0.840 |
0.272 |
0.140 |
1.115 |
–0.5051 |
–0.2209 |
0.1538 |
0.0541 |
0.910 |
0.237 |
0.125 |
1.126 |
–0.5149 |
–0.1930 |
0.1337 |
0.0460 |
0.980 |
0.201 |
0.111 |
1.135 |
–0.5162 |
–0.1620 |
0.1117 |
0.0377 |
1.050 |
0.164 |
0.100 |
1.143 |
–0.5087 |
–0.1295 |
0.0890 |
0.0295 |
1.120 |
0.129 |
0.091 |
1.149 |
–0.4916 |
–0.0973 |
0.0666 |
0.0218 |
1.190 |
0.094 |
0.084 |
1.154 |
–0.4644 |
–0.0670 |
0.0458 |
0.0148 |
1.260 |
0.062 |
0.079 |
1.157 |
–0.4267 |
–0.0402 |
0.0274 |
0.0088 |
1.330 |
0.032 |
0.077 |
1.159 |
–0.3784 |
–0.0184 |
0.0126 |
0.0040 |
1.400 |
0.006 |
0.075 |
1.160 |
–0.3195 |
–0.0027 |
0.0018 |
0.0006 |
1.470 |
–0.017 |
0.075 |
1.160 |
–0.2505 |
0.0064 |
–0.0043 |
–0.0014 |
1.540 |
–0.034 |
0.075 |
1.160 |
–0.1729 |
0.0090 |
–0.0061 |
–0.0020 |
1.610 |
–0.046 |
0.076 |
1.159 |
–0.0884 |
0.0062 |
–0.0042 |
–0.0014 |
1.680 |
–0.053 |
0.077 |
1.159 |
0.0000 |
–0.0000 |
0.0000 |
0.0000 |
Рис. К4г
Для составления программ на языке Pascal уравнения (91) представим в явном виде относительно 1, 2, 3 и VC:
(96)
Конечно-разностная схема Эйлера для уравнений (94), (96) приводит к следующим уравнениям, связывающим значения углов и угловых скоростей в начале и конце k-го шага интегрирования:
1 (k + 1) = 1 (k) + 1(k) t,
2 (k + 1) = 2 (k) + 2(k) t,
3 (k + 1) = 3 (k) + 3(k) t.
Учитывая начальные условия 1(0), 2(0), 3(0) и шаг по времени t, организуем цикл по времени с помощью стандартного оператора
repeat
. . . . . .
Тело цикла (формулы (96) для вычислений 1, 2, 3 и VC)
. . . . .
until t > .
На печать с шагом t = /24 = 0,07 c выводятся переменные t, 1, 2, 3, 1, 2, 3 и VC.
Ниже представлена программа и результаты расчета на языке Pascal (табл. К4.3), а также график изменения скоростей в зависимости от времени (рис. К4д).
Program Mаnipul
const dt=1.68/24;
Var
om1, om2, om3, Vc, f1, f2, f3, t, K1, K2: REAL;
F, S: Text;
Begin
t := 0; f1 := 0.5; f2 := 0.3; f3 := 1.0;
Assign(F, 'S41.dat');
Assign(S, 'S42.dat');
ReWrite(F);
ReWrite(S);
Repeat
K1 := sin(f1)*cos(f2) - cos(f1)*(sin(f2) - 1);
om1 := 0.6428*sin(1.87*t)*(sin(f2) - 1)/K1;
K2 := - K1;
om2 := 0.9*sin(1.87*t)*sin(f1)/K2;
om3 := 0.5625*sin(1.87*t)*sin(f1)/(K1*sin(f3));
Vc := 0.45*sin(1.87*t)*sin(f1)*cos(f3)/(K1*sin(f3));
Writeln(F, t:8:3, f1:8:3, f2:8:3, f3:8:3, om1:10:4, om2:10:4, om3:10:4, Vc:10:4);
Writeln(S, t:8:3, om1:8:3, om2:10:3, om3:10:3, Vc:12:3);
t := t + dt;
f1 := f1 + om1*dt;
f2 := f2 + om2*dt;
f3 := f3 + om3*dt;
Until t >= 1.68 + 0.15;
End.
Таблица К4.3
Результаты расчета
t |
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
VC |
0.0000 |
0.5000 |
0.3000 |
1.0000 |
0.0000 |
0.0000 |
0.0000 |
0.0000 |
0.0700 |
0.4981 |
0.2981 |
1.0014 |
–0.0529 |
–0.0548 |
0.0407 |
0.0175 |
0.1400 |
0.4926 |
0.2924 |
1.0057 |
–0.1055 |
–0.1074 |
0.0795 |
0.0341 |
0.2100 |
0.4834 |
0.2831 |
1.0125 |
–0.1572 |
–0.1557 |
0.1147 |
0.0486 |
0.2800 |
0.4706 |
0.2707 |
1.0216 |
–0.2078 |
–0.1979 |
0.1450 |
0.0606 |
0.3500 |
0.4544 |
0.2556 |
1.0326 |
–0.2566 |
–0.2327 |
0.1694 |
0.0694 |
0.4200 |
0.4348 |
0.2383 |
1.0452 |
–0.3030 |
–0.2589 |
0.1871 |
0.0751 |
0.4900 |
0.4120 |
0.2196 |
1.0587 |
–0.3465 |
–0.2761 |
0.1980 |
0.0776 |
0.5600 |
0.3863 |
0.1999 |
1.0727 |
–0.3863 |
–0.2841 |
0.2021 |
0.0772 |
0.6300 |
0.3580 |
0.1800 |
1.0868 |
–0.4218 |
–0.2830 |
0.1998 |
0.0744 |
0.7000 |
0.3274 |
0.1605 |
1.1006 |
–0.4521 |
–0.2735 |
0.1917 |
0.0695 |
0.7700 |
0.2948 |
0.1419 |
1.1135 |
–0.4767 |
–0.2563 |
0.1785 |
0.0631 |
0.8400 |
0.2608 |
0.1247 |
1.1255 |
–0.4947 |
–0.2326 |
0.1611 |
0.0555 |
0.9100 |
0.2258 |
0.1094 |
1.1360 |
–0.5055 |
–0.2038 |
0.1404 |
0.0473 |
0.9800 |
0.1902 |
0.0963 |
1.1451 |
–0.5083 |
–0.1713 |
0.1175 |
0.0388 |
1.0500 |
0.1548 |
0.0855 |
1.1525 |
–0.5025 |
–0.1369 |
0.0936 |
0.0304 |
1.1200 |
0.1201 |
0.0771 |
1.1582 |
–0.4872 |
–0.1025 |
0.0699 |
0.0224 |
1.1900 |
0.0868 |
0.0711 |
1.1623 |
–0.4619 |
–0.0700 |
0.0477 |
0.0152 |
1.2600 |
0.0557 |
0.0673 |
1.1649 |
–0.4258 |
–0.0413 |
0.0281 |
0.0089 |
1.3300 |
0.0275 |
0.0652 |
1.1663 |
–0.3786 |
–0.0181 |
0.0123 |
0.0039 |
1.4000 |
0.0029 |
0.0646 |
1.1667 |
–0.3203 |
–0.0016 |
0.0011 |
0.0003 |
1.4700 |
–0.0171 |
0.0648 |
1.1666 |
–0.2514 |
0.0075 |
–0.0051 |
–0.0016 |
1.5400 |
–0.0320 |
0.0654 |
1.1661 |
–0.1734 |
0.0097 |
–0.0066 |
–0.0021 |
1.6100 |
–0.0412 |
0.0660 |
1.1657 |
–0.0885 |
0.0064 |
–0.0043 |
–0.0014 |
1.6800 |
–0.0443 |
0.0663 |
1.1656 |
0.0000 |
0.0000 |
0.0000 |
0.0000 |
Рис. К4д
Оценим полученные результаты, сравнив их со значениями скоростей, вычисленными для какого-либо момента времени с помощью мгновенных центров скоростей.
Например, при t = 0,7 с из табл. K4.2 имеем: 1 = 0,339 рад = 19,42°, 2 = 0,167 рад = 10,08°, 3 = 1,09 рад = 62,45°, VA = 0,435 м/с.
Вычертим в масштабе схему механизма для выписанных углов (рис. К4е) и покажем на ней положение мгновенных центров скоростей.
Рис. К4е
Угловая скорость звена 1
Скорость точки В
VB = 1 BP1 = 0,46270,37 = 0,1712 м/с.
Угловая скорость колеса (звена 2)
Скорость точки D
VD = 2 DP2 = 0,26340,5 = 0,1371 м/с.
Угловая скорость звена 3
Скорость точки С
VC = 3 CP3 = 0,18290,38 = 0,0695 м/с.
Полученные результаты практически совпадают с результатами расчета на ЭВМ.