30.3. Метод интегрирования по частям

Пусть и = и(х) и v = v(x) — функции, имеющие непрерывные произ­водные. Тогда d(uv) = и ■ dv + v ■ du. Интегрируя это равенство, получим

/ d(uc) = udv + / v dv или / udv = uv — / vdu.

Полученная формула называется формулой интегрирования по ча­стям. Она дает возможность свести вычисление интеграла / и dv к вы­числению интеграла / vdu, который может оказаться существенно более простым, чем исходный.

Интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное вы­ражение заданного интеграла представляется каким-либо образом в виде произведения двух сомножителей и и da (это, как правило, можно осуще­ствить несколькими способами): затем, после нахождения v и du. исполь­зуется формула интегрирования по частям. Иногда эту формулу прихо­дится использовать несколько раз.

Укажем некоторые типы интегратов, которые удобно вычисли i ь ме­тодом интегрирования по частям.

1. Интегралы вида / P(x)e^l'^r dx, I Р{х) -sin кх dx. I P(.r)coskxd.r. где

Р{х) многочлен, к — число. Удобно положить а = Р(х), а за dv обозна­чить все остальные сомножители.

2. Интегралы вида / P(x)wsm.xdx, I Р(х) arccos.rr/.r. / P(x)lnx dx,

/ Р(х) arctgxdx, / Р(х) arcctg зч/.с. Удобно положить Р(х) dx — dv, а. за и

обозначить остальные сомножители.

3. Интсграчы вида / е'^и -ambxdx. I с"³' ■ coshxdx. где а и h числа.

За и можно принять функцию и = с"^х.

Пример 30.6. Найти (2х + 1)<^Лг dx.

и — 2х + 1 dv = г³' dx

du — 2dx

(можно по-

О Решение: Пусть

v = J с³* ,lx = ±e^3r

ложить С = 0). Следовательно, но формуле интегрирования но частям:

2 ,

+ C.

J(2x+l)e^dx = (2,:+ 1) • l'*^x-f \<>^3r2dx = ^l-(2x + l)₀³' Пример 30.7. Найти \nxdx.

и — In x dv — dx

du = — dx x

Поэтому

О Решение: Пусть

dv

/ In х dx = х ■ In x — / x ■ - dx = x ■ In x — x + С

С.

202

и = аг dv = е^х dx

Пример 30.8. Найти / яге'' dx. О Решение: Пусть

du = 2х dx

v = е^х

Поэтому

/ х²е^х dx = х²е^х — 2 е^х ■ х dx.

(30.2)

Для вычисления интеграла / e'xdx снова применим метод интегрирова­ния по частям: и = х, dv = е^х dx =$ du = rf.r, v = e^x. Значит,

/ e^x ■ x dx = x ■ t"^r - Г e* dx = x ■ e^x - e^x + С (30.3)

Поэтому (см. (30.2)) f x²e^x dx = x²e^x - 2(x ■ e^x - e^x + C). •

Пример 30.9. Найти / axctgx d.r.

и — arctg x ==> du

- dx

1 + .Г

Поэтому

Q Решение: Пусть

V = x

dv = dx

J arctg

г x , 1 _td(l + .r)

x dx = x ■ arctg x - / dx = x ■ arctg x / — =

./ 1 + x- 2 J 1 + x-

■= x arctg :?• - - hi(l + x²) + C.

§31. Интегрирование рациональных функции 31.1. Понятия о рациональных функциях

Многочлен (некоторые сведения справочного характера)

Функция вида

Рп{г.) = а₀х" + ai:r"~ ' Н Ь «,,-i.r + а„.

(31.1)

* * »

где п - натуральное число, а, (/' = 0,1...., п) постоянные коэффициен­ты, называется многочленом (или целой рациональной функцией). Число и называется степенью многочлена.

Корнем многочлена (31.1) называется такое значение xq (вообще говоря, комплексное) переменной х, при котором многочлен обращается и нуль, т. е. Р_п(хо) = 0.

Теорема 31.1. Если хх есть корень многочлена Рп(х)	то многочлен делится без
остатка на х — х\, т. е. Рп(х) = (j-.c,)-Pn_,(a-).	(31-2)
где Pn-i(x) — многочлен степени (п — 1).

203

Возникает вопрос: всякий ли многочлен имеет корень? Положитель­ный ответ на чтот вопрос дает следующее утверждение¹.

Теорема 31.2 (основная теорема алгебры). Всякий многочлен ?<-й степени (п > 0) имеет по крайней мере один корень, действительный или комплексный.

Доказательство этой теоремы мы не приводим.

Пользуясь основной теоремой алгебры, докажем теорему о разложе­нии многочлена на линейные множители.

Теорема 31.3. Всякий многочлен Р„(х) можно представить в виде

Р_п(х) = а₀(х - х,)(х - .,;,)... (х - х_п). (31.3)

где X], Го.. ...х_п — корни многочлена, о₀ — коэффициент многочлена при х".

LJ Рассмотрим многочлен (31.1). По теореме 31.2 он имеет корень. Обо­значим его через т,\. Тогда имеет место соотношение (31.2). А гак как P„_i(:r) — также многочлен, то он имеет корень. Обозначим его через х->-Тогда Р„._[(.г) = (х — х₂) • Р„--2(х), где P,i-->(x) многочлен (и - 2)-ii степени. Следовательно, Р„(х) — (х — х\ ){х — х->,)Р_п -•_>(•';). П1ю;юлжая этот процесс, получим в итоге:

Р„(т) = а₀(х - :п )(.г - j-a) ■ ■ • (■<• - ■?„)■ ■

Множите, in (.г —.г,-) в равенстве (31.3) называются линейными мно­жителями.

Пример 31.1. Разложить многочлен Р-л{х) = х^Л — 2.г~ — х + 2 па множители.

Q Решение: Многочлен /"'*(.?■) — х^л - 2х~ — х + 2 обращается в нуль при х = -1..г = 1,х -- 2. Следовательно..r³-2./---.r+2 = (:r-f l)(.r-l)(.r-2). •

Пример 31.2. Представить выражение х' — х² + 4,г — 4 в виде произве­дения линейных множителей.

Q Решение: Легко проверить, что х^л — х²+4х — 4 = (х — 1)(.т — 2/')(.г + 2/). •

Если в разложении многочлена (31.3) какой-либо корень встретился к раз. то он называется корнем кратности к. 13 случае к = 1 (т. е. корень встретился один раз) корень называется простым.

Разложение многочлена (31.3) можно записать в виде

Р_п(х) = а₀(х - л)*¹ • (х - х->)^ ... (.,: - .г,.)*"' ■ (31.4)

если корень Х\ имеет кратность к[. корень х> - кратность A:_L> и так далее. При чтом к\ + к-2 + f к,- = п. а г -- чисто различных корней.

204

Например, разложение

Р»(х) = (х - Щх + 1)(х - 4)(эт - 3)(эт - 3)эт(эт - 4)(а- - 3) можно записать так:

Р₆(х) = (х- З)⁴ • (х + 1) • {х - 4)² • х. Пользуясь теоремой 31.3, можно,доказать следующие утверждения.

Теорема 31.4. Если многочлен Р_п(х) = а$х^п + а\х^{п 1} + ■ ■ ■ + а_п тождественно равен нулю, то все его коэффициенты равны нулю.

Теорема 31.5. Если два многочлена тождественно равны друг другу, то коэффи­циенты одного многочлена равны соответствующим коэффициентам другого.

Например, если ах³ + Ьх² + сх + d — х^л — Зх² + 1, то а = 1. Ь = —3, с = 0, d = 1.

Теорема 31.6. Если многочлен Р_п(х) с действительными коэффициентами имеет комплексный корень а + ib, то он имеет и сопряженный корень а — ib.

В разложении многочлена (31.3) комплексные корни входят сопряжен­ными парами. Перемножив линейные множители

(х - (а + ib)) ■ (х - (а - ib)),

получим трехчлен второй степени с, действительными коэффициентами х² + рх + q. В самом деле.

(:;; - (а + ib))(x - (а - ib)) = ((х - а) - ib)((x - а) + ib) =

= (.т - а]² + /г — х² - Чах + о² + Ь² = х² + рх + д.

где р = —2а, q — а² + Ь'².

Таким образом, произведение линейных множителей, соответствую­щих сопряженным корням, можно заменить квадратным трехчленом с действительными коэффициентами.

С учетом вышеизложенного справедлив следующий факт.

Теорема 31.7. Всякий многочлен с действительными коэффициентами разлагается на линейные и квадратные множители с действительными коэффициентами, т. е. многочлен Р„(х) можно представить в виде

Р_п(х) = ац(х - J4)*¹ (а- - *₂)*² ...(х- x_r)^k' х

х (х² +pix + qi)^si ... {х² + р_тх + q_m)^Sm . (31.5)

При этом ki + к₂ + ■ ■ ■ + к_г + 2(si + s₂ + • • • + s_m) = п, все квадратные трехчлены не имеют вещественных корней.

•205

Примеры разложений (31.5):

1. х⁴ -1 = (х-1)(х+ 1)(.т² + 1):

2. ж³ - 16а; = ж(а;² - 16) = .т(.т - 4)(.т + 4);

3. х⁵ - 6а-⁴ + 9а-³ - х¹ + 6х - 9 = .г³ (.г² - 6.т + 9) - (а:² - б.т + 9) = (ж² - 6ж + 9)(ж³ - 1) = (а- - З)² • (а- - 1){х² + х + 1).

Дробно-рациональная функция

О

Дробно-рациональной функцией (или рациональной дробью)

называется функция, равная отношению двух многочленов, т. е. /(.г) =

Р (х) = _n^m) '( , где Р,_п(х) — многочлен степени т, а (?„(х) - многочлен сге-

пени п.

Рациональная дробь называется правильной, если степень числите­ля меньше степени знаменателя, т. е. т < п; в противном случае (если т ^ п) рациональная дробь называется неправильной.

р(х) Всякую неправильную рациональную дробь „"' момсно, пу-

тем деления числителя на знаменатель, представить в виде

суммы многочлена L{x) и правильной рациональной дроби ,-{,,"!.,

_{m = L(r) + iM}

Q(x) ^["' ⁺ Q(x)-

тт Р(х) х⁴ - 5т 4- 9 ^ -п

Например, -тут—f = -— _ .-> - неправильная рациональная дробь. Раз­делим числитель на знаменатель в столбик:

х-2

х⁴ -5а;+9

х> + 2.т- + 4.т -I- 3

х⁴ - 2х^Л

_ 2х³ - 5т + 9

2х^л - Ах²

4;г2 4.г2	-5л:+ 9 -8т
	Зт + 9 За; - 6

15.

Получим частное L(r) = х³ + 2т² + 4т + 3 и остаток Щх) — 15. Следова­ тельно, ^х ~ ^5хл+ ⁹ = х'^л + 2х² + 4т + 3 + -^Ц. х — 2 т — 2

Правильные рациональные дроби вида

(I)- -^-;

⁴ ' х — а

(II). -^—_F (А; £ 2, А- £ N): (а: - а)

(III). о ^{Х +} (корни знаменателя комплексные, т. с. р- — 4q < 0);

а; +рх + q

(IV). —₉ ' ^х "I" г (fc ^ 2, корни знаменателя комплексные),

(х~ +px + q)

где Л, ы, М, N, р, q ---- действительные числа, называются простейшими

рациональными дробями I, II, III и IV типов.

206

Р(х) Теорема 31.8. Всякую правильную рациональную дробь _п) I, знаменатель кото-

рой разложен на множители

Q(x) = (а: - xi)^fcl • (х - х₂)^к2 ... (х² +р!-х + qi)^si ...(х² +Р,„х + q_m)^Sm ,

можно представить (и притом единственным образом) в виде следующей суммы простейших дробей:

:М ₌ _^_ ₊ ^А2 +...+ -^ ₊ Q(.r) х -xi {х - х_ху (х - xi )*■•>

в, в₂ в_кч

+ + - Г7 + --- + 7 ~~Тк7+---

X — Х-2 (X — Х-2)" (X — Х-2) ²

dx + Di C2X + D.2 C_s,x + D_e,

ж² + pii + gi (ж² + pix + qi )² (.г² + р_ьт + (h )">

, Мц + М Л/₂1 + ^2 , , M_Sm.c + iV_Sm

■ " ' Н о г Т^ 7Т + ' ' ' + 7~~> ч 1 (oi.DJ

х- + р_тх + q_m (х² + р_тх + q_m)- (х- + р_тх + </,„)*'"•

где А[, А-2, ■ • •, В\, В₂, ..., С\, D\ М\, N_lt ... — некоторые действительные

коэффициенты.

■ • ■ Н—г^- : Н , о . : 77 + • ■ ■ +

Поясним формулировку теоремы на следующих примерах: х² + 4 А В С D

1) 7 zr, ^ = т: + :: + 7 ^ +

{х-2)(х-3)³ х-2 j-З (х-3)~ (.т-3)³' х³ +1 _ Л _В С ж + D

' ' х²{х? + 1) ~ ж ⁺ х^{2 +} ж² + 1 '

7х²+8ж + 9 Л В Cx + L> Mx + N

3) 7 ТТТ; ^77-^ ГТТ7 = 7 + —-77 + -Г" 7^ +

(а:-1)(ж-2)(ж²+ж + 1)² .л - 1 х-2 х²+х+1 (х²+х+1)²' Для нахождения неопределенных коэффициентов А\ ,А->..... В\ ,/?•_>,... в равенстве (31.6) можно применить метод сравнивания коэффициентов. Суть метода такова:

1. В правой части равенства (31.6) приведем к общему знаменателю

/v х ^рН S{x) ' ,

Q(x); в результате получим тождество ,Л , = ,Л '. где Ь(х) мпого- ^v ' •' (Дж) СДж)

член с неопределенными коэффициентами.

2. Так как в полученном тождестве знаменатели равны, то тождествен­ но равны и числители, т. е.

P(x) = S(x). (31.7)

3. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х (но теоре­ ме 31.5 о тождестве многочленов) в обеих частях тождества (31.7), полу­ чим систему линейных уравнений, из которой и определим искомые коэф­ фициенты А\, .4.2,..., В\,...

Пример 31.3. Представить дробь ^J """.,•"• Г —— в виде суммы

(х - 1)(ж~ — 2а: + о)

простейших дробей.

'207

О Решение: Согласно теореме 31.8 имеем:

2х² - За- - 3 Л Вх + С

(х - 1) (ж- - 2.г + 5) .г - 1 х- - 2х + 5'

^Т' ^е' 2а-² - Зт - 3 _ Л(х² - 2j + 5) + (j - 1)(&г + С)

(:г-1)(х²-2.Г + 5) ~ " "(х- 1)(х² - 2х + о) Отсюда следует

2.т² - За; - 3 ее Ах'² - 2Ах + 5.4 + Б.г-² - Вх + Сх - С.

2х² - З.г - 3 а (А + В)х² + (-2.4 - В + С)х + (5.4 - С). Приравнивая коэффициенты при х². а^-1. я:⁰, получаем

'2 = А + В. -3 = -2.4 - В + С. -3 = 5.4 - С. Решая систему, находим, что .4 = — 1. В = 3, С = —2. Следовательно.

2х² - 3.;: - 3 -1 З.г - 2

+

(х - 1){х² - 2.г + 5) х - 1 ,г² - 2х + 5'

Для нахождения неопределенных коэффициентов применяют также мегпгн) отдельных значений аргумента: после получения юждоетва (31.7) аргументу х придают конкретные значения столько рач. сколько неопре­деленных коэффициентов (обычно полагают вместо .г значения лействп-тельных корней многочлена (}{х)).

Пример 31.J_h Представить дробь —, ои —ГТ " ^ии;1⁽' еум.мы про­стейших д]К)оей.

О Решение: Имеем: —.—~гп~^—гт = — Н „ Н ^—г. Отсюда следует

х\х — 2){х + 1) х х — 2 х + 1

З.г - 4 ее А{х - 2)(j: + 1) + Вх(х + 1) + Сх(х - 2).

Положим .г = 0. тогда —4 = —2.4, т. е. .4 = 2: положим х = 2. тогда 2 = (SB. т. е. В = ^: ИО.ТОЖИМ .г = -1, тогда — 7 = ЗС, i. е. С = —4т. Следовательно,

За- — 4 2 тт - ~ _

- + —^-т + — - •

:г(.г - 2)(.г + 1) а: .г - 2 а; + Г

Интегрирование простейших рациональных дробей

Найдем интегралы от простейших рациональных дробей.

1. / —^i— rfj; = / -^- '- — А ■ In I.?^- - а\ + С (формула (2) таблицы

,/ х — a J а; - а

пнтегратов);

²- / (7^7*" ^{= А} ■ /^(х' -^я)" *^rf('"^{rt) = Л} ■ ^^ттт^{1 + с (фор}"

мула (1));

20«

3. Рассмотрим интеграл J = .; ^{,г +} — dx.

J х" + рх + q

Выделив в знаменателе полный квадрат, получим:

_т г Mx + N

J = ах,

J (x + l)?+q-^

2

причем q — *-т- > 0. Сделаем подстановку х -\- ± = t. Тогда х = t — ~. 4 z 2

2

г/.г — r/f. Положим q - V = а²- Следовательно, используя формулы (2)

и (15) таблицы интегралов, получаем

. г Mx + N , г M(t -D + N

■J = / —, dx = / ——. dt —

.1 x¹ + рх + q J t² + a²

_{»iwh+(»-l-£)!}

f² + a²

_ M

~ T

i. е.. возвращаясь к переменно!] x,

, /■ Mx + N , Л/, , _{2 ч} N - Ц* x+'i

■J = / — dx = — In (x² + px + q) + -. • arctg ^z + С

J->--_+Px_+q 2 rzz rrz

\n(t² +a')+ (N - ^) ■-B.rctg- +C\ \ 2 I a a

dt

Пример 31.5. Hail in / —%

+ 2.Г + 10

³-'- + ¹ dx.

Q Решение: x² + 2x + 10 = (x + l)² + 9. Сделаем подсгановку x + 1 = t. Тогда x = t — 1, dx = r/( и

3.r+ 1 , /■ 3(f- 1) + 1 , _n r tdt _n r dt

J x¹ + 2x + 10 ./ *-' + 9 ./ £-' + 9 У f-' + 9

= * Ht² + 9) - ^ arctg | + С = | ln(./-- + 2.r + 10) - ^ arctg ^±1 + С

4

(.с" + ;ле + q biii интеграл подстановкой . lerpa. юв:

A I'll . /V ^jV7^ /" ^df •> P*

4. Вычисление интеграла вида / —., ^J' ~*~^J г dx. к ^ 2, q — L— > 0.

Данный интеграл подстановкой x + ~ = t сводится к сумме двух ин- ,, i ¹⁽1^{ /„ Мр\ г dt

J (.с- + ш: + o 4

{f-+a²)^h V 2 JJ (f²

Первый интеграл легко вычисляется:

/ га = У"'⁺■''-' *'⁺»-'»= эд-_Ц(,'₊^-+ ^с

Вычислим второй интеграл: _ /■ dt _ 1 г^+«²)-^

²>*-' / (f² +r/²)0 ~ а² Г*'¹ / (j² +a²)')- ⁽³¹ⁱ

(f²+«²)* a²./ (t²+a²)^A' ^l/ (pTn²)*-¹ J{t*+a²)^kJ d²V~^l J(f²+a²)

209

К последнему интегралу применим интегрирование по частям. Положим

tdt

и = t. dv = — ——, du = dt,

{t² + a²)^k

1

v=lf(t²+a²r*d(t²+a²) = —-

2(l-Jt)(t² + a²)*-¹' тогда

r t²dt t 1 r dt

j (p _{+ a}²)^k " 2(1-k)(t'² + a²)*'"¹ ~ 2(1 -k) J (/²+«²)*-¹

t 1

Л-

2{\ - k){t² + a²)^k'-¹ 2(1 -k) Подставляя найденный интеграл в равенство (31.8), получаем

Jk = ^J (Л-1 - 2(1 -jfc)(^2₊„2)4-1 + ЦГ^Т)'¹"-^

^т-^е' 1 /2А;- 3 , t

Л = -7 ^ ^Л-1 +

а² \2k-2 " 2(k-l)(t²+a²)^k-\

Полученная формула дает возможность найти интеграл Л- для любого натурального числа к > 1.

Пример 31. б. Найти интеграл J-j = / j ■;.

Q Решение: Здесь а = 1, А: = 3. Так как

^{Jl =} / 7^T^=arrtg^ ^{+ c}-

то

/' ^df - ²'² ~³ * _ I *

² ~ J JFTlj² ~ 2 • 2 - 2 ⁺ 2 • (2 - 1)(*² + 1) ~ 2 ^airtg' + ₂(f² + 1)

3 _т t t 3/1 г \ _, _