Устойчивость динамических систем. Теорема Ляпунова в непрерывном и дискретном времени.
Устойчивость.
Пусть,
например, система определяется
отображением
где
d
и e
соответствуют причине и следствию
некоторого явления. Причинно-следственная
пара (d,e)
называется устойчивой, если незначительные
отклонения от e
вызываются малыми отклонениями от d,
т.е. для всех
,
близких
к d
,
соответствующие
следствия
будут близки к e,
,
где
– малые величины, причем величина
связана с
.
Это означает, что малые
отклонения d
не могут существенно изменить следствие.
Пусть
имеется уравнение
описывающее
поведение системы в евклидовом
пространстве X,
для которого в некоторой области
выполнены условия существования и
единственности решения. Управление в
обозначим в форме функции f(…).
Теорема
Ляпунова.
Решение
называется устойчивым по Ляпунову,
если для любого
существует такое
,
что для любого
,
удовлетворяющего условию
,
при всех t>0.
Здесь
– некоторая метрика в евклидовом
пространстве, например, «модуль».
Другими словами, устойчи-вость по
Ляпунову означает равномерно непре-рывную
зависимость решений от начальных
данных.
Если
требуют дополнительно, чтобы выполнялось
,
то подобное поведение системы называют
асимптоти-ческой устойчивостью.
Вещественную
непрерыв-но
дифференцируемую и знакопостоянную
функцию
,
удовлетво-ряющую
условию
,
называют функцией Ляпунова.
Теорема
(первая теорема Ляпунова). Пусть
существует функция Ляпунова
такая, что
,
где
– скалярная непрерывная неубывающая
функция такая, что
и
,
.
Пусть также
,
где
– называется производной функции
Ляпунова в силу системы.
Возьмем
и любое
.
В качестве
выберем такое число, что
,
.
Из непрерывности V(t,x)
и условия V(t,0)=0
следует, что такое число найдется.
Условие
означает, что функция V(t,x)
не возрастает вдоль решений исходного
уравнения. При
и
,
получим
,
.
В силу монотонности
отсюда вытекает, что
.
Нахождение
функций Ляпунова позволяет исследовать
уравнения на устойчивость без их
решения.
И
нтерпретация
задачи определения устойчивости для
системы, описываемой конечно-разностным
уравнением в дискретном времени
.
Функция
является функцией Ляпунова для системы
в случае если
1.
непрерывна по X
и
;
2.
– положительно определена при
;
3.
(неотрицательно определена).
Теорема
об устойчивости формулируется следующим
образом: если для системы
существует функция Ляпунова, то решение
асимптотически устойчиво. Функция
Ляпунова легко определяется для линейных
систем вида
.
Разность
для
другого решения
также
удовлетворяет уравнению
.
Это
значит, что если
устойчиво, то каждое другое решение
также устойчиво. То есть для линейных
систем устойчивость – свойство системы,
а не конкретного решения.Для линейной
системы при a=0
функцию Ляпунова обычно ищут в виде
где
B
– положительно определенная матрица.
Вычислим первую разность функции
Ляпунова и преобразуем ее к виду
,
где C
– некоторая положительно определенная
матрица, которая находится из матричного
уравнения
.
Это уравнение (матричное уравнение
Ляпунова) всегда имеет решение, если
система устойчива. В качестве C
обычно выбирают единичную матрицу(C=I).
Если матрицу A
путем невырожденного преобразования
F
можно привести к диагональному виду,
то
и
решение есть линейная комбинация
,
где
,
собственные числа A.
Для достижения асимптотической
устойчивости все решения должны
стремиться к нулю при
.
В этом случае все собственные числа A
должны обладать свойством
.
В самом простейшем случае скалярного
уравнения
устойчивость достигается при
<1,
так как
и любое возмущение начального значения
будет «погашено» с течением времени.