2. Принцип разделения в цифровых системах управления. Обоснование для линейно – квадратичной задачи управления в дискретном времени.

Рассмотрим синтез оптимального управления для линейной стохастической системы ,

-мерный вектор состояния объекта управления;

мерный вектор управления;

-мерный вектор шумов возмущения ( ,);

-мерный вектор шума наблюдения;

-мерный вектор шума наблюдения;

– матрицы преобразования размерности .

Шумы , являются гауссовскими и образуют независимые в дискретном времени последовательности.

В качестве целевого функционала используется квадратичный функционал ,

(1)

Задача о поставке топлива.

Пусть: – объем продукта, хранимого в k-ый день на нефтехранилище, фиксируемый относительно некоторого среднего уровня ;

– объем продукта, поступающего в k-ый день по результатам ранее сделанного заказа.

– текущий расход продукта при продаже;

– средний объем продаж, для которого известен сезонный тренд.

Управление формирует объем заказа на поставку продукта и определяет значение , то есть имеется запаздывание на один день (такт).

При поставке и при продаже продукта имеются случайные возмущения и , обусловленные человеческим фактором, потерями при перевозке, колебаниями спроса и т.п.

Динамика изменения продукта и состояния системы в целом определяется уравнениями

, , ,

– известный коэффициент, определяющий степень корреляции продаж в соседние дни.

Тогда, задавая

получаем уравнение

В качестве начального значения вектора состояния объекта возьмем вектор , где – оптимальный с точки зрения работы нефтехранилища средний уровень топлива; – средний объем продаж для текущего месяца.

Наблюдение за объектом управления осуществляется путем измерения объема продукта каждый день. Пусть результаты измерения, а – погрешность подобных измерений. Тогда .

Другой вариант организации наблюдения за состоянием объекта предполагает дополнительно контроль объема продажи. Тогда

,

Оптимальное управление состоит в поддержании уровня продукта вблизи среднего уровня с минимизацией затрат на управление, то есть на возобновление недостающей части продукта.

Такое качество управления описывается функционалом вида , . Вводим величину относительного изменения продукта и получаем, что данный функционал полностью соответствует выражению (1), если

Таким образом, рассмотренная задача является линейно-квадратичной задачей управления для стохастической системы.

Контрольно-измерительный материал № 2

1. Решение задачи линейного программиро-вания на основе симплекс- метода.

Пусть , где m – число независимых уравнений. Решение, если оно существует, лежит в одной из вершин ОДР – в вершинах выпуклого многогранника, называемого симплексом. В каждой такой вершине по крайней мере k переменных равны нулю. Выберем в качестве свободных любые переменные, например, , а остальные выразим через них ,…, . Положим все свободные переменные равными нулю. При этом . Это решение допустимо, если все . Если среди , есть хотя бы один коэффициент, который меньше нуля, то требуется выбрать новый набор свободных переменных. Проверим полученное решение на оптимальность и выразим W через свободные переменные Очевидно, что при . Попробу-ем улучшить это решение, то есть уменьшитьW, увеличивая какие-нибудь из переменных

Если среди коэффициентов есть отрицательные, полученное решение действи-тельно можно улучшить, увеличивая те из переменных, для которых коэффициенты меньше нуля. Если все , , то найденное решение является оптимальным.

Пусть, например, коэффициент отрицателен. Тогда есть смысл увеличить , что эквивалентно переходу из данной вершины (опорного решения) к другой, где теперь переменная . Увеличивать надо осторожно, чтобы не стали отрицательными другие переменные , зависящие от . Такая опасность су-ществует, если среди коэффициентов есть отрицательные. Если таких коэффициентов нет, то величину можно увеличивать беспре-дельно и, значит, величина W не ограничена снизу (оптимального решения нет). Допустим, что среди уравнений ,…, есть те, в которых коэффициент при отрица-телен. Возьмем одну из таких переменных .

, где . Тогда, если оставить определить равным , получим точку, в которой . Если выбрать среди , переменную (обозначаем ее ), которая при увеличении раньше всех станет равной ну-лю, получится новое опорное решение, то есть произойдет перемещение из одной вершины ОДР в другую, где .

Теперь надо переразрешить систему ,…, относительно новых базисных и свободных переменных и найти новое значение W как линейной функции переменных . Если все коэффициенты при переменных функции W больше нуля, то полученное решение является оптимальным, если нет, то описанный процесс повторяется вновь и вновь, пока не будет найдено оптимальное решение (управление). Выполняемая обработка данных по шагам выглядит следующим образом.

Шаг 1. Задание набора свободных переменных . Пересчет выражений базисных переменных через свободные , и пересчет .

Шаг 2. Проверка допустимости решения , то переход на Шаг 3, иначе переход на Шаг 1.

Шаг 3. Проверка оптимальности решения : если то остановка, иначе фиксируется и переход на Шаг 4.

Шаг 4. Проверка: если то оптимального решения нет и останов, иначе увеличение до значения , , переход на Шаг 1.