Общее решение задачи автоматического управления без ограничений для детерминиро-ванной системы на основе методов вариации-онного исчисления.
Общее
решение задачи оптимального управления
со свободным правым концом для
детерминиро-ванной системы
,
без ограничений
на управление.
Отсутствие ограничений на управление
означает, что его возможные значения
,
где
– множество ограниченных непрерывных
функций. Такая
задача может быть решена в рамках
методов вариационного исчисления.
Вариа-ционное
исчисление изучает методы нахождения
экстремума функционалов. Вариацией
функции y(x)
есть функция от X
вида
,
определяемая как разность новой функции
Y(x)
иy(x).
Пусть дана функция
.
Если она имеет непрерывные частные
производ-ные второго порядка, то ее
приращение, вызванное вариациями
,
определяется как
,
.
В приведенном выражении (формуле
Тейлора) первый и второй член – есть
первая
и вторая
вариации функцииF.
В дальнейшем будем использовать
следующие обозначения. Для скалярной
функции
векторного аргумента
.
Решение
поставленной задачи нахождения минимума
функционала J
осуществляется по следующей
схеме.Образуется вспомогательный
функционал
,
где
– вектор множителей Лагранжа.
Необходимость
введения вспомогательного функционала
определяется необходимостью учета
характера движения. Вводится
скалярная функция, называемая
гамильтонианом
.
Интегрируя по частям последнее слагаемое
в правой части, получим
.Найдем
теперь вариацию функционала
,
соответствующую вариациям управления
u(t)
с учетом возникающих при этом вариаций
x(t)
.Для
того, чтобы исключить влияние вариаций
,
вызванных вариациями по управлению
,
на вариации функционала
,
выберем множители
таким образом, чтобы коэффициенты при
,
обратились в ноль
;
.
Эта система уравнений называется
сопряженной системой. При
выборе ψ(t)
в соответствии с сопряженной системой
уравнение для
имеет вид
.
(1)
Это уравнение
определяет первую вариацию функционала
.
Поскольку J=
на траекториях решения уравнения,
описывающего поведение системы, то и
.
Если J
достигает экстремума, то
для произвольных
.
фиксировано,
тогда
.
– множество ограниченных непрерывных
функций, необходимое условие экстремума
имеет вид
(2). Уравнения (1) и (2) это уравнения
Эйлера-Лагранжа. Они дают стационарное
решение – необходимое условие минимума
функционала потерь.
Достаточное
условие определяется
на основе определения еще и знака
второй вариации
.Таким
образом, для того, чтобы найти
,
нужно решить систему уравнений порядка
2m
следующего вида:
,
,
где u(t)
определяется из условия
.Система
уравнений имеет m
краевых условий на левом конце и m
краевых условий на правом конце
.Это
общее решение задачи в рамках классических
методов вариационного исчисления.