III. Несобственные интегралы

Интегралы с бесконечными пределами. Пусть функция определена и непрерывна при всехи, следовательно, интегрируема на каждом конечном отрезке. Тогда по определению полагают:. Говорят, что несобственный интегралсуществует или сходится, если существует конечный предел, указанный в определении. Если жеприне имеет конечного предела, то говорят, что несобственный интеграл не существует или расходится. Аналогично определяются несобственные:

, .

Последнее равенство понимается так: если каждый из несобственных интегралов, стоящих справа, существует, то существует по определению и интеграл, стоящий слева.

Пример.

.

.

IV. Дифференциальные уравнения

1. Дифференциальные уравнения I порядка

Дифференциальным уравнением (обыкновенным) называется уравнение, связывающее независимую переменную, функцию и производные (или дифференциалы) этой функции. В общем виде дифференциальное уравнение может быть записано в следующем виде:

.

Наивысший порядок производной, входящей в уравнение, называется порядком уравнения. Следовательно, уравнения I порядка имеют вид или (в разрешенном относительновиде).

Решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая на интервале функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество на.

Задача, в которой требуется найти решение уравнения , удовлетворяющее условию, называемому начальным условием, называется задачей Коши.

Общим решением дифференциального уравнения в некоторой области плоскостиназывается функция, зависящая оти постояннойиз некоторого множества, если: 1)является решением данного уравнения при любых значениях произвольной постоянной; 2) для любого начального условиясуществует единственное значение, при котором решениеудовлетворяет начальному условию.

Всякое решение , получающееся из общего решения, для областипри конкретном значенииназывается частным решением.

Общее решение дифференциального уравнения, выраженное в неявной форме , называется общим интегралом этого уравнения.

Рассмотрим некоторые типы дифференциальных уравнений I порядка.

1.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Это дифференциальные уравнения, которые могут быть записаны в виде или в виде равенства дифференциалов:. При такой симметричной записи относительноииногда удобно рассматривать некак функцию, акак функцию переменной. Называя иногдафункцией, именно это имеют в виду.

Для решения последнего уравнения надо обе части уравнения умножить или разделить на такое выражение, чтобы после сокращений в одну часть входило выражение, связанное только с переменной , а в другую только с , а затем проинтегрировать обе части. При делении обеих частей на выражение, содержащее неизвестныеи, могут быть потеряны решения, обращающие это выражение в нуль. Поэтому такие решения проверяются.

Пример. Решить уравнение .

Запишем это уравнение через дифференциалы:или

.

Разделим обе части последнего уравнения на:.

Переменные разделены. Интегрируем дифференциалы в обеих частях, имея в виду, что :

, откуда получаем  общий интеграл для области, не содержащей прямыхи. При делении намогли быть потеряны решения, если рассматриватькак функцию оти. При проверке (подстановке в уравнение) находим, чтоесть решение уравнения, а нет. Заметим, что не входит в семейство функций, описанных общим интегралом, т. к.в этом случае не существует.